Наша общая природа - пытаться упрощать / обобщать вещи, находя закономерности. Тем не менее, хотя мне может показаться интуитивно понятным попытаться применить эту идею, распространяя ее на общий случай n переменных, в этом случае это не работает. Я постараюсь разбить аргументы в пользу формулы.
Сначала мы должны понять, как могла появиться формула LCM (x, y) * GCD (x, y) = x * y. Чтобы найти LCM или GCD, один из способов - разбить каждое из чисел на их основные факторы.
Пусть х = 84, у = 30
x = 2 * 2 * 3 * 7 = (2 * 3) * 2 * 7
y = 2 * 3 * 5 = (2 * 3) * 5
Часть в скобках является общей частью. Итак, мы говорим, что хорошо, 2 * 3, то есть 6 должно быть способным делить и x, и y и называть это НАИБОЛЬШИМ общим делителем. Имейте в виду, только 2 или только 3 также являются общими делителями x и y, но не САМЫМИ БОЛЬШИМИ общими делителями.
Чтобы найти наименьшее общее кратное, мы берем GCD и умножаем его на все оставленные числа. Таким образом, наш LCM равен (2 * 3) * 2 * 7 * 5 = 420. Я не описываю интуицию, стоящую за этим, поскольку она проста и также не имеет прямого отношения.
Таким образом, если вы умножите x и y, вы получите 84 * 30 = (2 * 3 * 2 * 7) * (2 * 3 * 5) = (2 * 3) * ((2 * 3) * 2 * 7 * 5) = GCD (x, y) * LCM (x, y) = (2 * 3) * (2 * 3) * (2 * 7 * 5) = [общая часть возведена в степень 2, поскольку она повторяется в обоих числах] * [остальные оставшиеся факторы во всех числах].
Теперь перейдем к вашему вопросу, если вы берете еще одну переменную z = 18 = (2 * 3) * 3, GCD всех 3 чисел является общей частью (2 * 3), т. Е. 6, а LCM равен (2 *). 3) * 2 * 7 * 5 * 3, что бы это ни было.
Теперь x * y * z = (2 * 3) * (2 * 3) * (2 * 3) * (2 * 7 * 5 * 3) = [общая часть возведена в степень 3, поскольку она повторяется во всех 3 числах] * [остальные оставшиеся факторы во всех числах]. Но если вы используете несколько GCD и LCM, вы получите только (2 * 3) * ((2 * 3) * 2 * 7 * 5 * 3) = (2 * 3) * (2 * 3) * (2 * 7 *) 5 * 3), то есть общая часть учитывается только дважды, а не трижды.
Однако, это также может быть случай, когда некоторые из факторов между некоторыми числами (не все, то есть не могут быть включены в GCD) являются общими. В общем случае n переменных GDD (x [1], x [2], ... x [n]) = c [1] c [2] .. c [k], где каждый из c [i] 1 <= i <= k существует один раз во всех числах. LCM ((x [1], x [2], ... x [n]) = GCD (x [1], x [2], ... x [n]) * ((h (p [1] ]) * h (p [2]) * ... h (p [l])), где каждый p [j], 1 <= j <= l - простое число в списке оставшихся факторов, не являющихся частью GCD и h (p [i]) - наивысшая степень p [i], присутствующего в любом из них. </p>
Теперь, когда мы умножаем LCM и GCD на n чисел, кроме потери коэффициентов GCD на что-либо более чем в два раза, мы также теряем факторы, которые частично являются общими для некоторых чисел, и можем найти только результат из высших сил, которые присутствуют, умножаются на GCD.