Можно ли создать свой собственный интерфейс для NuGet, например, в моем проекте MVC я хотел бы загрузить и установить пакет NuGet из раздела администратора в моем веб-приложении?
Да, это возможно, мы делаем это с помощью ASP.NET WebPages, встроенных в администратор :)
Хорошей отправной точкой было бы посмотреть на команду установки NuGet Commandline, чтобы увидеть, как она это делает.
http://nuget.codeplex.com/SourceControl/changeset/view/e2929b936dfb#src%2fCommandLine%2fCommands%2fInstallCommand.cs