Геометрическая интерпретация функции комплексной переменной с Mathematica? - PullRequest
Новая
       36

Геометрическая интерпретация функции комплексной переменной с Mathematica?

4 голосов
/ 08 июля 2011

Как я могу написать код в Mathematica, чтобы увидеть результат, как это:

enter image description here

Как видите, у нас есть комплексная функция w=f(z), где z=x+iy и w=u+iv.

В этом примере w=sin z, и мы видим изображение вертикальной линии x=c с гиперболой. (Левый)

и изображение горизонтальной линии y=c является эллиптическим. (Справа)

Эта фотография взята из книги Джеймса Уорда Брауна «Сложные переменные и приложения», Руэль Вэнс Черчилль, 8-е издание: страницы 331 и 333 или страницы третьего издания 96-97

Ответы [ 2 ]

3 голосов
/ 08 июля 2011

Как-то так? 

ClearAll[u, v, f];
f[z_] := Sin[z]
u[x_, y_] := Re@f[x + I*y];
v[x_, y_] := Im@f[x + I*y];

enter image description here

РЕДАКТИРОВАТЬ: Это просто производит все.Если вы хотите просто посмотреть, что происходит для одного пути, параллельного воображаемой оси, попробуйте 

ParametricPlot[{u[5, y], v[5, y]}, {y, -3, 3}]

или для той же параллели к реальной оси, попробуйте 

ParametricPlot[{u[x, 1], v[x, 1]}, {x, -3, 3}]

EDIT2: Interactive: 

ClearAll[u, v, f];
f[z_] := Sin[z]
u[x_, y_] := Re@f[x + I*y];
v[x_, y_] := Im@f[x + I*y];

Manipulate[
Show[
    Graphics[{Line[{p1, p2}]}, PlotRange \[Rule] 3, Axes \[Rule] True],
    ParametricPlot[
        {u[p1[[1]] + t (p2[[1]] - p1[[1]]), 
 p1[[2]] + t (p2[[2]] - p1[[2]])],
            v[p1[[1]] + t (p2[[1]] - p1[[1]]), 
 p1[[2]] + t (p2[[2]] - p1[[2]])]},
        {t, 0, 1},
        PlotRange \[Rule] 3]],
{{p1, {0, 1}}, Locator},
{{p2, {1, 2}}, Locator}]

(некрасиво, да, но сейчас не время это исправить).Типичный вывод: enter image description here

или

enter image description here

Идея состоит в том, что вы можете изменять линию на левой стороне цифр, которые вы даете (нажаввокруг графика, что равносильно нажатию на диаграмму Аргана ...) и просмотра соответствующих изображений.

2 голосов
/ 08 июля 2011

В зависимости от того, что вы хотите сделать с представлениями, иногда может быть полезно визуализировать поверхность Римана в 3D. Вот поверхность для w=sin(z) в 3D, аккуратно показывающая срезы ветвей и различные ветви (как на первом графике acl, но в 3D). 

ParametricPlot3D[
 Evaluate[{Re@Sin[z], Im@Sin[z], y} /. z -> x + I y], {x, -2, 
  2}, {y, -2, 2}]

enter image description here

...