Насколько я знаю, вы не можете знать, кто нажал кнопку «Мне нравится», однако, если пользователь входит в Facebook через ваш сайт (это означает, что вы написали какое-то приложение для Facebook, которое получает информацию), чем вы можете получить к нему доступ.информация.
попробуйте прочитать документацию на api.facebook.com, удачи.