Нахождение рекурсивного отношения

Question

В моем классе мы говорили о модели жизни кроликов, которая следовала последовательности Фибоначчи. Кролики начинали как пара младенцев и созревали в течение года. Зрелые кролики родили бы новую пару маленьких кроликов. Это привело к общему количеству пар кроликов, равных последовательности Фибоначчи.

Я также искал этот сайт, который мог бы объяснить это лучше, чем я: ССЫЛКА

На вебсайте, на который я ссылался, они модифицируют модель так, что кролики умирают через 2 года и создают новую рекурсивную связь. Мне было интересно, можно ли было бы найти рекурсивное соотношение для этой проблемы, которое бы выражалось через k, сколько лет кролики живут как взрослые (рожающие)?

Есть идеи, как это сделать?

Answer 1

Я попытаюсь дать вам подсказку, не дав вам ответа.

теперь у вас есть нормальное отношение Фибоначчи f (n) = f (n-1) + f (n-2)

но для случая, когда кролики умирают, вы тоже должны что-то вычесть. Вы должны вычесть количество умерших кроликов.

Answer 2

Вот данные для кроликов, живущих 10 лет (обратите внимание, что год 11, когда дети первого года жизни умирают):

Year    New     Mature  Dead    Total
1       1       0       0       1
2       0       1       0       1
3       1       1       0       2
4       1       2       0       3
5       2       3       0       5
6       3       5       0       8
7       5       8       0       13
8       8       13      0       21
9       13      21      0       34
10      21      34      0       55
11      34      55      1       88
12      55      89      1       143
13      89      144     2       231
14      144     233     3       374
15      233     377     5       605
16      377     610     8       979
17      610     987     13      1584
18      987     1597    21      2563
19      1597    2584    34      4147
20      2584    4181    55      6710
21      4181    6765    89      10857

Как вы можете видеть, число убитых кроликов следует последовательности Фибоначчи, смещенной на 10 лет.Общая сумма все еще равна Fn = Fn-1 + Fn-2, когда n <> 11 (или n <> k + 1), единственный раз, когда это не Fn = Fn-1 + Fn-2, в течение года 11 (k + 1), и в этот момент онэто F11 = Fn-1 + Fn-2 - Fn-k.Я не знаю, как формализовать это в одном уравнении.

Answer 3

Я дурачился с этим в течение нескольких недель и придумал следующее для произвольного числа лет, k, на которых живут кролики:

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) - F(n - (k + 1))

Я только до k = 6, но, кажется, работает, кроме случаев, когда n = k. В этом конкретном случае кажется, что это работает, если F (0) = 1. Как только n> k, формула, кажется, работает (хотя, как я уже сказал, для k <= 6 в этой точке). </p>