3D повороты самолета

Question

Я делаю что-то, где у меня есть плоскость в системе координат A с набором точек на ней. У меня также есть вектор нормали в пространстве N. Как я могу повернуть точки на системе координат A, чтобы основная плоскость имела такое же нормальное направление, что и N?

Хотите знать, есть ли у кого-нибудь хорошая идея, как это сделать? Спасибо

Answer 1

Если у вас есть или вы можете легко вычислить вектор нормали к плоскости, в которой находятся ваши точки, я думаю, что самый простой способ сделать это - повернуть вокруг оси, общей для двух плоскостей. Вот как я могу это сделать:

1. Пусть M - вектор нормали к вашей текущей плоскости, а N - вектор нормали к плоскости, в которую вы хотите повернуть. Если M == N, вы можете остановиться и оставить исходные точки без изменений.

2. Рассчитать угол поворота как

   costheta = dot(M,N)/(norm(M)*norm(N))
   

3. Рассчитать ось вращения как

   axis = unitcross(M, N)
   

   где unitcross - это функция, которая выполняет перекрестное произведение и нормализует его к единичному вектору, т.е. unitcross(a, b) = cross(a, b) / norm(cross(a, b)). Как указано в комментарии user1318499 , этот шаг может вызвать ошибку, если M == N, если ваша реализация unitcross не возвращает (0,0,0), когда a == b.

4. Вычислить матрицу вращения от оси и угла как

   c = costheta
   s = sqrt(1-c*c)
   C = 1-c
   rmat = matrix([ x*x*C+c    x*y*C-z*s  x*z*C+y*s ],
                 [ y*x*C+z*s  y*y*C+c    y*z*C-x*s ]
                 [ z*x*C-y*s  z*y*C+x*s  z*z*C+c   ])
   

   , где x, y и z являются компонентами axis. Эта формула описана в Википедии .

5. Для каждой точки вычислите ее соответствующую точку на новой плоскости как

   newpoint = dot(rmat, point)
   

   , где функция dot выполняет умножение матриц.

Это, конечно, не уникально; как упоминалось в ответе Петерка, существует бесконечное число возможных поворотов, которые могли бы превратить плоскость, нормальную к M, в плоскость, нормальную к N. Это соответствует тому факту, что после выполнения описанных выше шагов вы можете поворачивать плоскость вокруг N, и ваши точки будут находиться в разных местах, оставаясь в одной плоскости. (Другими словами, каждое вращение, которое вы можете совершить в соответствии с вашими условиями, соответствует описанной выше процедуре, за которой следует еще один поворот вокруг N.) Но если вам все равно, где в плоскости находятся ваши точки, я думаю, это вращение вокруг общей оси - это самый простой способ просто поместить точки в плоскость, в которой они вам нужны.

---

Если у вас нет M, но у вас есть координаты точек в начальной плоскости относительно начала координат в этой плоскости , вы можете вычислить начальный вектор нормали из двух точек 'позиции x1 и x2 как

M = cross(x1, x2)

(вы также можете использовать unitcross здесь, но это не имеет никакого значения). Если у вас есть координаты точек относительно начала координат, которого нет на плоскости, вы все равно можете это сделать, но вам понадобятся три позиции:

M = cross(x3-x1, x3-x2)

Answer 2

Одного вектора (ваш нормаль - N) будет недостаточно.Вам понадобятся еще два вектора для двух других измерений.(Представьте, что ваше трехмерное пространство все еще может вращаться / вращаться вокруг нормального вектора, и вам нужно еще 2 вектора, чтобы закрепить его).Если у вас есть нормальный и еще один в самолете, третий будет легко найти (влево или вправо в зависимости от вашей системы).

Убедитесь, что все три нормализованы (длина 1)и положить их в матрицу;используйте эту матрицу для преобразования любой точки в вашем трехмерном пространстве (используйте умножение матриц).Это должно дать вам новые координаты.

Answer 3

Я думаю, сделать единичный вектор [0,0,1] и использовать скалярное произведение вдоль двух плоскостей, чтобы найти угол разницы, и сдвинуть все ваши точки на эти углы. Предполагается, что вы хотите, чтобы ось z совпала с вектором нормали, иначе просто используйте [1,0,0] или [0,1,0] для x и y соответственно.