Используя LINQ, вы можете получить список только файлов:
Directory.GetFiles(txtbxNewFolder.Text).Select(f => Path.GetFileName(f));
Хотя вместо GetFiles
я бы, вероятно, использовал:
Directory.EnumerateFiles(txtbxNewFolder.Text).Select(f => Path.GetFileName(f));
Это не такпросто получить имя каталога, но это должно работать (не проверено):
Directory.GetDirectories(txtbxOldFolder.Text)
.Select(d => new DirectoryInfo(d).Name);
Аналогично, есть:
Directory.EnumerateDirectories(txtbxOldFolder.Text)
.Select(d => new DirectoryInfo(d).Name);