edit: Я, наверное, должен сказать, как я сейчас работаю над этой проблемой. Я определил принцип для отображения равенства перестановок,
Lemma permInd : ∀ (U : Type) (A : Ensemble U) (φ ψ : Perm A),
φ ↓ = ψ ↓ → φ ↑ = ψ ↑ → φ = ψ
затем применил лемму в контексте доказательства, который доставляет мне неприятности ниже и показывает, что эта-эквивалентные члены равны. Таким образом, проблема заключается в том, чтобы показать, что эта eta-эквивалентность вложена в запись. Но я не очень хорошо работаю с записями, поэтому я могу что-то упустить.
оригинал:
У меня проблемы с доказательством равенства эта-эквивалентных терминов, вложенных в поля записей. Для справки: эта-редукция независимо доказывается рефлексивностью:
Lemma etaEquivalence : ∀ (A B : Type) (f : A → B), (λ x : A, f x) = f.
Proof. reflexivity. Qed.
В моем текущем контексте доказательства у меня есть две записи, равенство которых я должен доказать. Полностью разрушенный и развернутый контекст проверки и текущая подцель выглядят следующим образом:
U : Type
A : Ensemble U
perm0 : U → U
pinv0 : U → U
permutes0 : IsPerm A perm0 pinv0
============================
{|
perm := λ x : U, perm0 x;
pinv := λ x : U, pinv0 x;
permutes := permutationComp permutes0 (permutationId A) |} =
{| perm := perm0; pinv := pinv0; permutes := permutes0 |}
Равенства, которые должны быть установлены:
perm0 = λ x : U, perm0 x
pinv0 = λ x : U, pinv0 x
Поскольку эти равенства могут быть установлены рефлексивностью, я не уверен, в чем проблема. Однако я подозреваю, что что-то не так, потому что попытка заменить λ x : U, perm0 x на perm0 генерирует соответствующую подцель, но не заменяет термин внутри записи. Кроме того, перезапись с использованием eqa_reduction приводит к ошибкам, связанным с абстракцией, вызывающим неверно набранные термины или вложенные зависимые аргументы.
Я максимально упростил контекст и вставил его ниже. Помимо стилистических проблем и того факта, что я все еще начинающий, я не вижу проблем с текущей разработкой.
Require Import Unicode.Utf8 Utf8_core Ensembles Setoid.
Class IsPerm {U : Type} (A : Ensemble U) (φ ψ : U → U) : Prop := {
pinvLeft : ∀ x : U, ψ (φ x) = x;
pinvRight : ∀ x : U, φ (ψ x) = x;
closedPerm : ∀ x : U, In U A x → In U A (φ x);
closedPinv : ∀ x : U, In U A x → In U A (ψ x)
}.
Record Perm {U : Type} (A : Ensemble U) : Type := {
perm : U → U;
pinv : U → U;
permutes :> IsPerm A perm pinv
}.
Notation "f ∘ g" := (λ x, f (g x)) (at level 45).
Notation "P ↓" := (@perm _ _ P) (at level 2, no associativity).
Notation "P ↑" := (@pinv _ _ P) (at level 2, no associativity).
Instance permutationComp
{U : Type} {A : Ensemble U} {f g k h : U → U}
(P : IsPerm A f k) (Q : IsPerm A g h) : IsPerm A (f ∘ g) (h ∘ k).
Proof.
constructor; intros.
setoid_rewrite pinvLeft. apply pinvLeft.
setoid_rewrite pinvRight. apply pinvRight.
apply closedPerm. apply closedPerm. auto.
apply closedPinv. apply closedPinv. auto.
Defined.
Instance permutationId
{U : Type} (A : Ensemble U) :
IsPerm A (λ x : U, x) (λ x : U, x).
Proof. constructor; intros; auto. Defined.
Definition permComp
{U : Type} (A : Ensemble U)
(φ : Perm A) (ψ : Perm A) : Perm A :=
Build_Perm U A (φ↓ ∘ ψ↓) (ψ↑ ∘ φ↑)
(permutationComp (permutes A φ) (permutes A ψ)).
Definition permId {U : Type} (A : Ensemble U) : Perm A :=
Build_Perm U A (λ x : U, x) (λ x : U, x) (permutationId A).
(* problems occur after the application of the tactic simpl, below: *)
Lemma permCompRightIdentity :
∀ {U : Type} (A : Ensemble U) (φ : Perm A), permComp A φ (permId A) = φ.
Proof. intros. unfold permComp. simpl. admit. Qed.
Наконец, я хочу поблагодарить всех, кто помог мне с Coq и проявил терпение.