Коллекция хранит ссылку на ваш объект Inst1,
вам нужно либо использовать вторую переменную, либо установить существующую переменную = в новый экземпляр
Private Sub MySub()
Dim ClientList As Collection
Set ClientList = New Collection
Dim Inst1 As Client
Set Inst1 = New Client
Inst1.Code = 1
Inst1.Name = "First Client"
'Adding first client
ClientList.Add Inst1
'Setting Inst1 to a new instance
Set Inst1 = New Client
Inst1.Code = 2
Inst1.Name = "Second Client"
'Adding second client
ClientList.Add Inst1
Set Inst1 = ClientList(1)
MsgBox Inst1.Name 'Show "Second Client"
Set Inst1 = ClientList(2)
MsgBox Inst1.Name 'Show "Second Client" too
End Sub