Если ваши мобильные устройства подключены к Интернету: используйте веб-приложение с (спокойной) веб-службой. Должно работать на каждой платформе, которую вы упомянули.
Мобильное приложение подключается к серверу после каждого раунда и собирает сообщения.
Я не думаю, что существует независимое от платформы одноранговое решение для мобильных платформ, кроме того: оно не будет хорошо масштабироваться в описываемой вами ситуации. Представьте себе:
Наличие 10 пользователей означает, что после каждого раунда каждый пользователь отправляет 9 сообщений. А теперь представьте, что в вашей сети 10 000 пользователей ... Коротко: одноранговая связь - это не то решение, которое вам нужно.