Звучит как каламбур, но TaskDatabase берет на себя эту задачу. :)
Когда вы устанавливаете дату архива для элемента, запись об этом попадает в таблицу Задач основной базы данных. После этого TaskDatabaseAgent выполняет итерацию этой таблицы с заданной частотой и обрабатывает задачи. Частота определяется как обычно, в <scheduling>
разделе web.config.
Сообщение «Элемент был заархивирован в ...» не должно вас смущать - оно отображается после достижения даты / времени. Но элемент будет заархивирован при следующем запуске агентом планирования базы данных задач.
Поиграйте с настройками расписания, и вы увидите, как это работает.