У вас есть пара проблем: во-первых, узел Result не является потомком.Это корень.Во-вторых, вы столкнулись с наиболее распространенной проблемой при использовании LINQ to XML - вы забыли пространство имен.Следующее должно дать вам то, что вам нужно:
XElement doc = XElement.Load("http://developer.yahooapis.com/TimeService/V1/getTime?appid=StackSolution");
XNamespace ns = "urn:yahoo:developer";
var datestamp = from ds in doc.DescendantsAndSelf(ns + "Result")
select new { currentstamp = ds.Element(ns + "Timestamp").Value };
Обратите внимание, это производит IEnumerable.Если вам нужна только метка даты, рассмотрите возможность использования FirstOrDefault.Вы можете сделать это проще, просто сделав следующее:
XElement doc = XElement.Load("http://developer.yahooapis.com/TimeService/V1/getTime?appid=StackSolution");
XNamespace ns = "urn:yahoo:developer";
var datestamp = doc.Element(ns + "Timestamp").Value;