Я не знаю Java, но разве не так?
double num1 = Double.parseDouble(textArea_price.getText());
double num2 = Double.parseDouble(textArea_quantity.getText());
double oldResult = 0;
String result = textArea_result.getText();
if (result != "")
oldResult = Double.parseDouble(result);
double result = oldResult + num1 * num2;
textArea_result.setText(Double.toString(result));
Если вы действительно хотите избежать, если операторы пробуют это, но это просто синтаксический сахар:
double num1 = Double.parseDouble(textArea_price.getText());
double num2 = Double.parseDouble(textArea_quantity.getText());
String result = textArea_result.getText();
double oldResult = (result == "") ? 0 : Double.parseDouble(result);
double result = oldResult + num1 * num2;
textArea_result.setText(Double.toString(result));