Это можно сделать, установив позицию каретки в конец текстовой области, т. Е.
myTextArea.setCaretPosition(myTextArea.getDocument().getLength());
Редактировать: Вы можете узнать намного больше по этому вопросу, посмотрев на соответствующие вопросы, перечисленные в правом нижнем углу этой страницы. В частности, пожалуйста, ознакомьтесь с ответом camickr и ссылкой в этой теме: Как установить автоматическую прокрутку JTextArea в графическом интерфейсе Java? . Это гораздо лучший и более полный ответ, чем тот, который я дал (и я только что проголосовал за него).