Я хочу знать, какие методы (события) вызываются, когда пользователь нажимает кнопку «Домой» и дважды нажимает ее снова, чтобы вернуться в мое приложение.
applicationDidEnterBackground applicationWillEnterForeground
Все это вызывается в приложении делегата
Все подробности можно найти здесь: http://developer.apple.com/library/ios/#documentation/uikit/reference/UIApplicationDelegate_Protocol/Reference/Reference.html