Первая проблема заключается во встроенных функциях. Если вы знакомы с функциями шаблона, встроенные функции имеют те же требования. Им нужно, чтобы детали их реализации были включены в заголовочный файл, чтобы компилятор мог генерировать встроенный код всякий раз, когда он включен где-то еще. Вы не можете реализовать это в обычном файле .cpp.
Что касается второй проблемы, если Widget::Widget() относится к классу QWidget и не был скопирован из журнала ошибок, я предполагаю, что это означает, что ваш код неправильно связывается с библиотекой QtGui , Убедитесь, что в файле .pro нет строки, удаляющей его, так как в противном случае он включен по умолчанию (иначе вам не нужна строка с надписью QT -= gui).
Если это не проблема, и класс Widget, для которого он не может найти конструктор Widget(QWidget*), является вашим собственным классом, то проблема может заключаться просто в том, что в файле .cpp виджета нет реализации для Widget::Widget(QWidget*) функция.