Рассчитать объем по сечениям

Question

У меня 3D-объект неправильной формы.Об этом объекте я знаю участки сечений через равные промежутки времени.Как я могу рассчитать объем этого объекта?

Answer 1

Вы можете только приблизить объем. Просто сложите все области и затем умножьте на расстояние между интервалами.

Очевидно, что чем меньше расстояние между интервалами, тем точнее громкость. Это просто интеграция (исчисление).

Answer 2

Ответ Эд Хила - это сумма Римана, которая приближается к (объему) интегралу в пределе.В зависимости от того, где сечения расположены относительно протяженности объекта, его можно рассматривать как приложение правила средней точки .

Предполагая, что площадь поперечного сечения плавно изменяется с расстоянием (дважды непрерывно дифференцируемой вдоль оси, перпендикулярной поперечным сечениям), правило средней точки и правило трапеции имеют точность, которая улучшается с помощью квадрата ширины интервала (здесь предполагается регулярным).Усреднение аппроксимаций правила средней точки и трапеции равносильно применению правила Симпсона, изложенного в ответе Питера Милли, с более высокой точностью порядка (улучшение с четвертой степенью ширины интервала) при условии подынтегральное выражение достаточно гладкое (непрерывное4-я производная площади поперечного сечения по расстоянию).

Конечно, многие фигуры в реальном мире не будут иметь такой гладкости (слишком много углов, отверстий и т. Д.), Поэтому разумно не ожидать исключительной точности от более сложных приближений.

Answer 3

Вы оцениваете интеграл Римана.Есть много способов сделать это, различной сложности. Правило Симпсона является достаточно простым и будет довольно точным, если площадь поперечного сечения изменяется достаточно плавно, однако для этого необходимо, чтобы число интервалов было четным.

Answer 4

Дискретизируйте его, используя тетраэдры или кирпичи, и сложите их объемы, используя методы конечных элементов.Интегрируем, используя гауссову квадратуру и сумму.