Почему два дополняют?

Question

Я пишу учебник, чтобы научить детей (в возрасте от 9 до 13 лет) программированию. Я начал с самих компьютеров, они не имеют ничего общего с информатикой, это больше касается процесса, связанного с решением вычислительной проблемы.

С этой отправной точкой я веду их к пониманию того, что машины могут помочь нам с определенными вычислительными проблемами. Люди хороши в абстрактном мышлении и воображении, но компьютеры УДИВИТЕЛЬНО следуют хорошо определенной рутине. Они могут делать это снова и снова, с удивительной скоростью!

Представление чисел в двоичном формате уже рассматривалось в моем уроке. Но как вы представляете отрицательные числа? Есть много способов сделать это в любой системе обозначений, но система, выбранная для компьютеров, имеет очень конкретную причину: уменьшить количество машин, связанных с добавлением целочисленных значений со знаком. Мы не хотим создавать и собирать отдельные микросхемы только для обработки отрицательных чисел, мы хотим использовать те же микросхемы, которые мы использовали для арифметики натуральных чисел!

Если кто-то спросил вас на улице (настолько нереально, как кажется) «как компьютеры представляют отрицательные числа и почему они представляют их таким образом?»

Мои конкретные вопросы:

1. Как компьютеры представляют отрицательные числа?

2. Почему компьютеры представляют отрицательные числа таким образом?

Я полагаю, что многим опытным разработчикам придется немного подумать об этом. Некоторые, возможно, даже не смогут придумать ответ. Я не пытаюсь быть напыщенным, это из реального опыта, я задал этот вопрос профессиональным разработчикам, и они не могут на него ответить. Они рисуют пустой взгляд. Дайте им JBoss и JavaBeans, и они будут уверенно вас обыгрывать. Так смешно! Я тоже борюсь с этим вопросом, мне приходится каждый раз напоминать себе об ответах, и мне нужен лист бумаги или белая доска, чтобы найти решение. Я надеюсь помочь студентам лучше понять машину, с которой они работают.

Answer 1

1.Как компьютеры обозначают отрицательные числа?

Возьмите положительное значение, инвертируйте все биты и добавьте один.

2. Почему компьютеры обозначают отрицательные числа таким образом?

Это упрощает добавление 7 в -7 и дает ноль. Операции с битами выполняются быстро.

---

Как это облегчает?

Возьмите пример 7 и -7. Если вы представляете 7 как 00000111, чтобы найти -7 инвертировать все биты и добавить один:

11111000 -> 11111001

Теперь вы можете добавить следующие стандартные математические правила:

  00000111
+ 11111001
-----------
  00000000

Для компьютера эта операция относительно проста, так как включает в себя в основном сравнение по крупицам и перенос одного.

Если вместо этого вы представляли -7 как 10000111, это не имеет смысла:

  00000111
+ 10000111
-----------
  10001110 (-14)

Чтобы добавить их, вам понадобятся более сложные правила, такие как анализ первого бита и преобразование значений.

И не забывайте, что сказал @trashgod, в дополнении 2 у вас есть только один ноль. Чтобы проверить это:

00000000
11111111 (инвертировать все биты)
00000000 (добавить один)

В отличие от 00000000 ( 0 ), равного 10000000 ( -0 )

Answer 2

Почему компьютеры представляют отрицательные числа таким образом?

Две большие причины, которые я могу придумать:

• Простота основных арифметических операций. Вам не нужно беспокоиться о проверке знака, чтобы решить, добавлять или убирать.
• Уникальность представления. Приятно не беспокоиться об отрицательном нуле, поскольку невозможно представить отрицательный ноль в дополнении к двум.

Из Википедии:

Преимущество системы двойного дополнения состоит в том, что в схемах сложения и вычитания не требуется проверять знаки операндов, чтобы определить, прибавлять или вычитать. Это свойство делает систему более простой в реализации и способной легко обрабатывать арифметику с более высокой точностью. Кроме того, ноль имеет только одно представление, устраняя тонкости, связанные с отрицательным нулем, который существует в системах дополнения.

Answer 3

Как компьютеры представляют отрицательные числа?

Компьютеры представляют отрицательные числа, вычисляя результат, который вы получите, если вычитаете это число из нуля, используя их обычные правила вычитания. То есть, чтобы найти, как -5 выглядит в двоичном виде, вы вычитаете 5 (в двоичном коде) из 0 (в двоичном виде):

0  0  0  0 -
0  1  0  1
----------

              (borrow)
-> 1 -> 1 -> 1 ->10 -
   0    1    0    1
   ----------------
   1    0    1    1

.. поэтому -5 выглядит как 1011 в двоичном формате.

Почему компьютеры представляют отрицательные числа таким образом?

Поскольку выполнение этого способа означает, что когда компьютер складывает и вычитает числа, ему не нужно проверять, являются ли некоторые из них отрицательными или нет: математика в любом случае работает. Это делает компьютер проще, а более простые компьютеры дешевле в сборке.

Answer 4

Запишите числовую строку

-32768 ... -1, 0, 1, 2, ... 32767

Добавьте движения вправо.Вычитание движется влево.Концептуально это хорошо, но как мы можем представить знак?

Мы можем использовать «величину знака», когда знак и значение разделены.Это сбивает с толку, потому что у нас есть две параллельные числовые линии с разными знаками.

Альтернативой "знаковой величине" является кодирование каждого числа в качестве другого числа.все цифры.Новый диапазон - от 0 до 65535 без знака. Все по-прежнему работает, верно?У вас просто есть фиксированное значение смещения, примененное ко всем числам.Добавьте ходы вправо.Вычитание движется влево.32768 можно декодировать до 0. 0 можно декодировать до -32768.

Это прекрасно работает.«Кодировка» числа - это просто добавление смещения.«Декодирование» числа просто вычитает смещение.

Вот еще одна схема кодирования.

Перенесите все отрицательные числа на другую сторону строки номера.

0,1, 2, ..., 32767, -32768, ... -1

Сложение все еще движется вправо.Взять любое число (с одним исключением).Число справа от него всегда больше.

Единственное исключение - 32767. Число справа от него - "переполнение".

Вычитание все еще перемещается влево.Взять любое число (с одним исключением).Число слева всегда меньше.Единственное исключение -32768.Число слева от него - «underflow».

Кодирование и декодирование немного сложнее.От 0 до 32767 имеют тривиальное кодирование и декодирование: ничего не делать.Числа закодированы как сами по себе.32768 - 65535, однако, являются кодировками отрицательных чисел.

Answer 5

Комплимент Two используется для упрощения сложения и вычитания в одну операцию, которая может выполняться одним аппаратным блоком.Вместо того чтобы вычитать одно число из другого, в арифметике с двумя комплиментами вы добавляете одно число к другому.В былые времена иметь отдельную аппаратуру для вычитания чисел было бы довольно сложно, поэтому было бы очень полезно придумать систему для выполнения вычитания и сложения с одним блоком.

Вы можетенайти инверсию любого числа в комплименте двух, щелкая биты и добавляя один.Например, -1 будет представлено следующим образом в четырехбитной реализации:

 1: 0001
-1: 1110 + 1 = 1111

Вы можете проверить это, добавив два:

 0001 + 1111 = 10000

Мы работаем с четырьмябиты, поэтому результат усекается.Теперь у нас есть 0000 или 0.Мы добавили число и его минус и получили ноль.Ура!

Теперь, для одного последнего примера, давайте сделаем 4 - 6. 4 представляется как 0100.6 представлен как 0110.Чтобы получить -6, переверните биты и добавьте один: 1001 + 1 = 1010.0100 + 1010 = 1110.1110 - отрицательное число (все числа со 1 в старшей значащей цифре отрицательны в комплименте двоих).Чтобы узнать его абсолютное значение, мы переворачиваем биты и добавляем 1. 0001 + 1 = 0010 или 2. Следовательно, результат нашего сложения равен -2.4 - 6 -2.Наша математика проверяется.

Поздравляем.Теперь вы точно такой же умный, как компьютер.

Answer 6

Q1. Как компьютеры представляют отрицательные числа?

2 метода комплимента!

Q2. Почему компьютеры представляют отрицательные числа таким образом?

Вот как работает комплимент 2:

Для любого х,

x + ~x   = all the bits set  
x + ~x   = 2^m - 1      (2^m = the range of numbers we opt)  
  -x     = ~x + 1 - 2^m (we can cancel out mod 2^m, which gives)  
  -x     = ~x + 1 

Как видите, комплимент 2 логичен и прост в реализации и не имеет угловых вариантов, поэтому он предпочтительнее других методов.
Давайте рассмотрим комплимент 1 , метод с угловыми случаями, о которых я говорил, в котором существуют 0 и -0 (все биты не установлены = 0, все биты установлены = -0), что переводит в большее число операций для выполнения для аппаратных схем, особенно во время операций с числом х и -0. [В Википедии есть хорошие примеры Избегая отрицательного нуля , вы можете посмотреть на них]

Надеюсь, это объяснение успокаивает умы ваших детей ...