Если я правильно понимаю, вы хотите создавать новый файл журнала при каждом запуске задания, поэтому в crontab вы используете ">" как
* * * * /home/myhome/some_cron_job.sh > /home/myhome/cron_job_output
Теперь, внутри some_cron_job.sh, вы используете«>>» для добавления в файл журнала
(within shell script)
echo "Testing" >> /home/myhome/cron_job_output
Помогает ли это?