Сохраняется ли вектор решения для квадратного уравнения при умножении уравнения на 2?

Question

Я собираюсь использовать quadprog в Matlab для решения задачи квадратичной оптимизации. Здесь основное уравнение выглядит как 'y = 1 / 2x'Hx + f'x', и мы находим вектор x, который минимизирует функцию y.

Теперь, если у меня есть функция 2 * y = x'Hx + 2f'x, умноженная на 2 из приведенного выше уравнения, вектор x, который минимизирует эту функцию, все еще остается как в y?

По сути, мой вопрос заключается в том, могу ли я использовать вектор x, полученный из 'y', в качестве решения для вектора x для '2y'.

У меня есть догадка, что решение будет таким же, но не уверенным по математическим соображениям. Ваша помощь будет оценена по достоинству!

Answer 1

Да, оптимальный x одинаков для обоих уравнений. Точнее, каждый x, который является оптимальным решением первого уравнения, также является оптимальным решением второго уравнения, и наоборот.

На самом деле, вы можете умножить все на любое конечное, строго положительное число, и это будет иметь место.

Answer 2

Если x * является оптимальным для f (x) и g (x) = h (f (x)), где h - неубывающая функция (например, умножение на любую положительную постоянную в вашем случае), то имеем:

Для всех x