Задать свойства: нерефлексивность и транзитивность

Question

Это не домашняя работа, но имеет прямое отношение к моей домашней работе. Другими словами, мне нужно знать эту информацию, чтобы выполнять домашнюю работу.

Является ли R переходным: R = {(a,b),(b,a),(c,c)}? Я думаю, что это также должно включать (a,a),(b,b), но я не уверен.

Пустой набор {} нерефлексивен?

Это случаи, которые не были четко объяснены, и я был бы признателен за разъяснение.

Answer 1

Если вы посмотрите, например, на Википедия: транзитивное отношение , у вас есть это прекрасное количественное выражение, которое становится истинным, если ваше отношение транзитивно.

Поскольку он универсально количественно определен, он корректен для пустого набора (потому что универсально количественно выраженные выражения о пустом множестве верны по определению). И ты абсолютно прав. Если в R есть (a,b) и (b,a), то также должно быть (a,a) для R, чтобы быть транзитивным.

Нерефлексивность также повсеместно определяется количественно («Это бинарное отношение на множестве, где нет элемента, связанного с самим собой.» => ∀x:~(xRx) или ~∃x:xRx), поэтому оно верно для пустой набор.

Answer 2

Транзитивный закон в математике и логике гласит: если A имеет какое-то отношение к B, а B имеет такое же отношение к C, то A относится к C. В арифметике свойство равенства транзитивно, если A =B и B = C, тогда A = C. Аналогично, это неравенство свойств, если два неравенства имеют одинаковый смысл: то есть, если A больше, чем B (т. Е. A> B) и B> C, то A> C;и если A меньше, чем B (то есть A Нерефлексивное или антирефлексивное отношение является противоположностью рефлексивного отношения.Это бинарное отношение на множестве, где ни один элемент не связан с самим собой.Примером является отношение «больше чем» (x> y).Обратите внимание, что не каждое отношение, которое не является рефлексивным, является нерефлексивным;можно определить отношения, в которых одни элементы связаны с самими собой, а не с другими.Например, бинарное отношение «произведение x на y является четным» является рефлексивным на множестве четных чисел, нерефлексивным на множестве нечетных чисел и ни на множестве натуральных чисел.