Изначально я думал, что проблема в том, что каждый веб-сайт будет работать в своем собственном пуле приложений (т.е. процесс), и статические члены не могут быть общими для всех процессов.Если бы это было так, я подумал, что возможное решение могло бы состоять в том, чтобы настроить различные веб-сайты для работы под одним и тем же пулом приложений.
Это обходится дорого, но на самом деле также не имеет значения - даже с вебсайты, работающие под одним и тем же пулом приложений, у каждого из них будет свой собственный домен приложений, поэтому вы все равно не сможете обмениваться статическими членами.
Учитывая это, я вполне уверен, что совместное использование статического члена между различными веб-сайтамисайты (или даже виртуальный каталог, по сути - два разных приложения на IIS) - невозможны, так как это определенно лишило бы возможности иметь отдельные приложения.
Это не имеет ничего общего с Azure per se, носкорее и IIS поведение.