Интеграл Mathematica со многими особенностями

Question

Какой лучший способ заставить Mathematica 7 или 8 сделать целое число

NIntegrate[Exp[-x]/Sin[Pi x], {x, 0, 50}]

В каждом целом числе есть полюсы - и мы хотим получить значение принципа Коши.Идея состоит в том, чтобы получить хорошее приближение для интеграла от 0 до бесконечности.

С Integrate есть опция PrincipleValue -> True.

С NIntegrate Я могу дать ей возможностьExclusions -> (Sin[Pi x] == 0), или вручную задайте полюса с помощью

NIntegrate[Exp[-x]/Sin[Pi x], Evaluate[{x, 0, Sequence@@Range[50], 50}]]

Исходная команда и два вышеупомянутых трюка NIntegrate дают результат 60980 +/- 10.Но все они выкладывают ошибки.Каков наилучший способ получить быстрый надежный результат для этого интеграла без ошибок Mathematica?

Answer 1

Саймон, есть ли основания полагать, что ваш интеграл сходится?

In[52]:= f[k_Integer, eps_Real] := 
 NIntegrate[Exp[-x]/Sin[Pi x], {x, k + eps, k + 1 - eps}]

In[53]:= Sum[f[k, 1.0*10^-4], {k, 0, 50}]

Out[53]= 2.72613

In[54]:= Sum[f[k, 1.0*10^-5], {k, 0, 50}]

Out[54]= 3.45906

In[55]:= Sum[f[k, 1.0*10^-6], {k, 0, 50}]

Out[55]= 4.19199

Похоже, проблема в x == 0.Разделение подынтегрального выражения k + eps на k + 1-eps для целых значений k:

In[65]:= int = 
 Sum[(-1)^k Exp[-k ], {k, 0, Infinity}] Integrate[
   Exp[-x]/Sin[Pi x], {x, eps, 1 - eps}, Assumptions -> 0 < eps < 1/2]

Out[65]= (1/((1 + 
   E) (I + \[Pi])))E (2 E^(-1 + eps - I eps \[Pi])
     Hypergeometric2F1[1, (I + \[Pi])/(2 \[Pi]), 3/2 + I/(2 \[Pi]), 
     E^(-2 I eps \[Pi])] + 
   2 E^(I eps (I + \[Pi]))
     Hypergeometric2F1[1, (I + \[Pi])/(2 \[Pi]), 3/2 + I/(2 \[Pi]), 
     E^(2 I eps \[Pi])])

In[73]:= N[int /. eps -> 10^-6, 20]

Out[73]= 4.1919897038160855098 + 0.*10^-20 I

In[74]:= N[int /. eps -> 10^-4, 20]

Out[74]= 2.7261330651934049862 + 0.*10^-20 I

In[75]:= N[int /. eps -> 10^-5, 20]

Out[75]= 3.4590554287709991277 + 0.*10^-20 I

Как вы видите, существует логарифмическая особенность.

In[79]:= ser = 
 Assuming[0 < eps < 1/32, FullSimplify[Series[int, {eps, 0, 1}]]]

Out[79]= SeriesData[eps, 0, {(I*(-1 + E)*Pi - 
     2*(1 + E)*HarmonicNumber[-(-I + Pi)/(2*Pi)] + 
          Log[1/(4*eps^2*Pi^2)] - 2*E*Log[2*eps*Pi])/(2*(1 + E)*Pi), 
     (-1 + E)/((1 + E)*Pi)}, 0, 2, 1]

In[80]:= Normal[
  ser] /. {{eps -> 1.*^-6}, {eps -> 0.00001}, {eps -> 0.0001}}

Out[80]= {4.191989703816426 - 7.603403526913691*^-17*I, 
 3.459055428805136 - 
     7.603403526913691*^-17*I, 
 2.726133068607085 - 7.603403526913691*^-17*I}

EDIT В [79] приведенного выше кода дано расширение ряда для eps-> 0, и если эти два логарифмических термина объединятся, мы получим

In[7]:= ser = SeriesData[eps, 0, 
       {(I*(-1 + E)*Pi - 2*(1 + E)*HarmonicNumber[-(-I + Pi)/(2*Pi)] + 
              Log[1/(4*eps^2*Pi^2)] - 2*E*Log[2*eps*Pi])/(2*(1 + E)*
       Pi), 
         (-1 + E)/((1 + E)*Pi)}, 0, 2, 1]; 

In[8]:= Collect[Normal[PowerExpand //@ (ser + O[eps])], 
 Log[eps], FullSimplify]

Out[8]= -(Log[eps]/\[Pi]) + (
 I (-1 + E) \[Pi] - 
  2 (1 + E) (HarmonicNumber[-((-I + \[Pi])/(2 \[Pi]))] + 
     Log[2 \[Pi]]))/(2 (1 + E) \[Pi])

Очевидно, что -Log [eps] / Pi получен изполюс в точке х == 0.Поэтому, если вычесть это, точно так же, как метод основного значения делает это для других полюсов, вы получите конечное значение:

In[9]:= % /. Log[eps] -> 0

Out[9]= (I (-1 + E) \[Pi] - 
 2 (1 + E) (HarmonicNumber[-((-I + \[Pi])/(2 \[Pi]))] + 
    Log[2 \[Pi]]))/(2 (1 + E) \[Pi])

In[10]:= N[%, 20]

Out[10]= -0.20562403655659928968 + 0.*10^-21 I

Конечно, этот результат трудно проверить численно, но вы можете знать больше, чтоЯ делаю о вашей проблеме.

РЕДАКТИРОВАТЬ 2

Это редактирование должно оправдать ввод [65], который вычисляет исходный регуляризованный интеграл.Мы вычисляем

Sum[ Integrate[ Exp[-x]/Sin[Pi*x], {x, k+eps, k+1-eps}], {k, 0, Infinity}] ==  
  Sum[ Integrate[ Exp[-x-k]/Sin[Pi*(k+x)], {x, eps, 1-eps}], {k, 0, Infinity}] ==
  Sum[ (-1)^k*Exp[-k]*Integrate[ Exp[-x]/Sin[Pi*x], {x, eps, 1-eps}], 
       {k, 0, Infinity}] == 
  Sum[ (-1)^k*Exp[-k], {k, 0, Infinity}] * 
     Integrate[ Exp[-x]/Sin[Pi*x], {x, eps, 1-eps}]

В третьей строке Sin [Pi * (k + x)] == (-1) ^ k * Sin [Pi * x] для целого числа k.

Answer 2

Я должен согласиться с Саша , интеграл не кажется сходящимся. Однако если исключить x == 0 и разбить интеграл на части

Integrate[Exp[-x]/Sin[Pi x], {x, n + 1/2, n + 3/2}, PrincipalValue -> True]

, где n >= 0 && Element[n, Integers], то кажется, что вы можете получить чередующийся ряд

I Sum[ (-1/E)^n, {n, 1, Infinity}] == - I / (1 + E )

Так вот, я взял только 1011 *, но это выглядит разумно. Тем не менее, для интеграла выше с Assumptions -> Element[n, Integers] && n >= 0 Mathematica дает

If[ 2 n >= 1, - I / E, Integrate[ ... ] ]

, который просто не соответствует отдельным случаям. В качестве дополнительного примечания, если полюс находится на границе области интеграции, т. Е. Ваши пределы равны {x, n, n + 1}, вы получите только DirectedInfinity с. Быстрый просмотр графика показывает, что у вас с ограничениями {x, n, n + 1} у вас есть только строго положительное или отрицательное подынтегральное выражение, поэтому бесконечное значение может быть связано с отсутствием компенсации, которую дает вам {x, n + 1/2, n + 3/2}. Проверка с {x, n, n + 2}, однако он только выплевывает неоцененный интеграл.

Answer 3

Саймон, я не провел много времени с твоим интегралом, но тебе стоит попробовать приближение стационарной фазы . То, что у вас есть, это гладкая функция (exp) и сильно колебательная функция (синус). В настоящее время проводится работа по выбиванию 1/sin(x) в форме exp(if(x))

В качестве альтернативы, вы можете использовать расширение серии cosecant (недопустимо на полюсах):

In[1]:=Series[Csc[x], {x, 0, 5}]
(formatted) Out[1]=1/x + x/6 + 7/360 x^3 + 31/15120 x^5 +O[x]^6

Обратите внимание, что для всех m>-1 у вас есть следующее:

In[2]:=Integrate[x^m Exp[-x], {x, 0, Infinity}, Assumptions -> m > -1]
Out[2]=Gamma[1+m]

Однако, суммирование ряда с коэффициентами косеканта (из википедии), исключая случай 1/x Exp[-x], который не сходится к [0,Infinity].

c[m_] := (-1)^(m + 1) 2 (2^(2 m - 1) - 1) BernoulliB[2 m]/Factorial[2 m];
Sum[c[m] Gamma[1 + 2 m - 1], {m, 1, Infinity}]

тоже не сходится ...

Итак, я не уверен, что вы можете придумать приближение для интеграла к бесконечности, но я, если вы удовлетворены решением до некоторого большого N, надеюсь, это поможет.