Как найти r-ю производную функции, когда r является символическим в Mathematica? - PullRequest
Новая
       20

Как найти r-ю производную функции, когда r является символическим в Mathematica?

15 голосов
/ 26 ноября 2011

У меня есть функция f(t)=2/(2-t).Не так сложно получить r-ю производную при t = 0 (т.е. 2^(-r)*r!) без использования Mathematica.В случае вычисления Mathematica я могу получить r-ю производную, когда r = 4, например: D[2/(2-t), {t, 4}].Но как я могу получить r-ую производную при t = 0 в Mathematica, когда r ЛЮБОЕ целое число?Я пытался использовать это выражение, но оно не сработало так, как ожидалось: 

Simplify[D[2/(2 - t), {t, r}], Assumptions -> Element[r, Integers]]  /. {t->0}

Возможно ли сделать математику символически в Mathematica так же, как мы, люди? *

Ответы [ 4 ]

16 голосов
/ 27 ноября 2011

Для аналитических функций вы можете использовать SeriesCoefficient. 

nthDeriv[f_, x_, n_] := n!*SeriesCoefficient[f[x], {x, x, n}]

Ваш пример: 

f[t_] := 2/(t - 2)

nthDeriv[f, t, n]
(*
-> Out[39]= n!*Piecewise[{{-2*(2 - t)^(-1 - n), n >= 0}}, 0]
*)
13 голосов
/ 26 ноября 2011 
f = FindSequenceFunction[Table[D[2/(2 - t), {t, n}], {n, 1, 5}], r]

(*
-> -((2 (2 - t)^-r Pochhammer[1, r])/(-2 + t))
*)
g[r_, t_] := f
FullSimplify@FindSequenceFunction[Table[g[r, t], {r, 1, 5}] /. t -> 0]

 (*
 -> 2^-#1 Pochhammer[1, #1] &
 *)

Редактировать

Или просто 

FindSequenceFunction[Table[D[2/(2 - t), {t, n}], {n, 1, 5}], r] /. t -> 0
(*
-> 2^-r Pochhammer[1, r]
*)

* Редактировать *

Примечание: Пока FindSequenceFunction[] работает в этой простой ситуации, не ставьте на нее в более общих случаях.

Редактировать

Чтобы получить результат, выраженный в терминах факториальной функции, простоделать: 

FunctionExpand@FindSequenceFunction[Table[D[2/(2-t),{t, n}],{n,1,5}], r] /.t->0
(*
-> 2^-r Gamma[1 + r]
*)
3 голосов
/ 09 мая 2013

Существует другой подход, который иногда работает лучше (дает выражения в замкнутой форме, а не рекуррентные отношения): 

In[1]:= InverseFourierTransform[(-I k)^n FourierTransform[1/(1 + x^2)^Log[2], x, k] , k, x]
Out[1]= (2^(-1 + n - 1/2 Log[1/x^2])
      Abs[x]^-Log[2] ((-I)^
      n ((1 + n) x Gamma[(1 + n)/2] Gamma[
      n/2 + Log[2]] Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, n/2 + Log[2], 1/
      2, -x^2] (n + Log[4]) - 
    2 I Gamma[1 + n/2] Gamma[
      1/2 (1 + n + Log[4])] ((1 + x^2) Hypergeometric2F1[(2 + n)/
         2, 1/2 (1 + n + Log[4]), -(1/2), -x^2] - 
       Hypergeometric2F1[(2 + n)/2, 1/2 (1 + n + Log[4]), 1/
         2, -x^2] (1 + x^2 (3 + 2 n + Log[4])))) + 
 I^n ((1 + n) x Gamma[(1 + n)/2] Gamma[
      n/2 + Log[2]] Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, n/2 + Log[2], 1/
      2, -x^2] (n + Log[4]) + 
    2 I Gamma[1 + n/2] Gamma[
      1/2 (1 + n + Log[4])] ((1 + x^2) Hypergeometric2F1[(2 + n)/
         2, 1/2 (1 + n + Log[4]), -(1/2), -x^2] - 
       Hypergeometric2F1[(2 + n)/2, 1/2 (1 + n + Log[4]), 1/
         2, -x^2] (1 + x^2 (3 + 2 n + Log[4]))))))/((1 + n) 
       Sqrt[Pi] x Gamma[Log[2]] (n + Log[4]))

Он также может использоваться для поиска повторных антипроизводных.

1 голос
/ 28 ноября 2011

Другие ответы заставляют меня задуматься, не понимаю ли я лежащий в основе вопрос, но я думаю, что вы должны смотреть на Derivative вместо D для такого рода вещей. 

In[1]:= Remove[f, fD]
f = 2/(2 - #) &;
fD[r_Integer, EvaluatedAt_] := Derivative[r][f][#] &[EvaluatedAt]

Теперь мыиметь функцию, которую можно легко оценить для любого значения r. 

In[4]:= fD[#, 0] & /@ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Out[4]= {1/2, 1/2, 3/4, 3/2, 15/4, 45/4}
...