Вы должны заставить & использовать процесс в фоновом режиме и перенаправить весь вывод. Так что вам нужно добавить
> /dev/null 2>&1 &
в конце вашей команды. Таким образом, вы должны получить что-то вроде этого:
exec("(wget -O http://domain/file.zip && mysql -u user -ppassword database -e \"UPDATE \\`table\\` SET \\`status\\` = 'live' WHERE \\`id\\` = '1234'\") echo \$! > /dev/null 2>&1 &");
[Редактировать]
Чтобы упростить задачу, вы также можете переместить wget и обновление в другой php-файл, который вы вызываете с помощью exec. Таким образом, вы получите только
exec("php NewFile.php > /dev/null 2>&1 &");