Это сложный материал. Пожалуйста, прочитайте книгу на эту тему, чтобы получить все математические и мелкие детали. Если вы планируете долго играть с этим, вам нужно знать эти вещи. Этот ответ только для того, чтобы вы могли намочить ноги и взломать.
Умножающие матрицы
Перво-наперво. Умножение матриц - это достаточно простое дело .
Допустим, у вас есть матрицы A , B и C , где AB = C . Допустим, вы хотите выяснить значение матрицы C в строке 3, столбце 2.
- Возьмите третий ряд A и второй столбец B . Теперь у вас должно быть одинаковое количество значений от A и B . (Если у вас нет матричного умножения, оно не определено для этих двух матриц. Вы не можете сделать это.) Если оба являются матрицами 4 × 4, у вас должно быть 4 значения из A (строка 3) и 4 значения из B (столбец 2).
- Умножьте каждое значение A на каждое значение B . Вы должны получить 4 новых значения.
- Добавьте эти значения.
Теперь у вас есть значение матрицы C в строке 3, столбец 2. Конечно, задача состоит в том, чтобы сделать это программно.
/* AB = C
Row-major ordering
a[0][0] a[0][2] a[0][3]...
a[1][0] a[1][4] ...
a[2][0] ...
...*/
public static mmMul(double[][] a, double[][] b, double[][] c) {
c_height = b.length; // Height of b
c_width = a[0].length; // Width of a
common_side = a.length; // Height of a, width of b
for (int i = 0; i < c_height; i++) {
for (int j = 0; j < c_width; j++) {
// Ready to calculate value of c[i][j]
c[i][j] = 0;
// Iterate through ith row of a, jth col of b in lockstep
for (int k = 0; k < common_side; k++) {
c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
}
}
}
}
Гомогенные координаты
У вас есть 3D-координаты. Допустим, у вас есть (5, 2, 1). Это декартовы координаты. Давайте назовем их ( x , y , z ).
Гомогенные координаты означают, что вы пишете лишнюю 1 в конце ваших декартовых координат. (5, 2, 1) становится (5, 2, 1, 1). Давайте назовем их ( x , y , z , w ).
Всякий раз, когда вы делаете преобразование, которое дает w ≠ 1, вы делите каждый компонент ваших координат на w . Это изменит ваши x , y и z , и снова сделает w = 1. (В этом нет никакого вреда, даже если ваша трансформация не меняется w . Она просто делит все на 1, что ничего не делает.)
Есть несколько классных вещей, которые вы можете сделать с однородными координатами, даже если математика за ними не имеет смысла. Именно в этот момент я прошу вас снова взглянуть на совет в верхней части этого ответа.
Преобразование точки
Я буду использовать терминологию OpenGL и подходы в этом и последующих разделах. Если что-то неясно или кажется противоречащим вашим целям (потому что это кажется мне не совсем домашней работой: P), пожалуйста, оставьте комментарий.
Я также начну с предположения, что ваши матрицы крена, наклона и панорамирования правильные.
Когда вы хотите преобразовать точку, используя матрицу преобразования, вы умножаете эту матрицу вправо на вектор столбцов, представляющий вашу точку. Скажем, вы хотите перевести (5, 2, 1) с помощью некоторой матрицы преобразования A . Сначала вы определяете v = [5, 2, 1, 1] T . (Я пишу [ x , y , z , w ] T с маленьким T означает, что вы должны записать его как вектор-столбец.)
// Your point in 3D
double v[4][5] = {{5}, {2}, {1}, {1}}
В этом случае Av = v 1 , где v 1 - ваша преобразованная точка. Сделайте это умножение подобно матричному умножению, где A равно 4 × 4, а v равно 4 × 1. В итоге вы получите матрицу 4 × 1 (которая является еще одним вектором столбца).
// Transforming a single point with a roll
double v_1[4][6];
mmMul(rollMat, v, v_1);
Теперь, если вам нужно применить несколько матриц преобразования, сначала объедините их в одну матрицу преобразования. Сделайте это, умножив матрицы вместе в том порядке, в котором вы хотите их применить.
Программно, вы должны начать с единичной матрицы и умножить вправо каждую матрицу преобразования. Пусть I 4 будет единичной матрицей 4 × 4, и пусть A 1 , A 2 , A 3 , ... будьте вашими матрицами преобразования. Пусть ваша окончательная матрица преобразования будет A final
A окончательный ← I 4
A финал ← A финал A 1
A финал ← A финал A 2
A финал ← A финал A 3
Обратите внимание, что я использую эту стрелку для обозначения назначения. При реализации этого, не перезаписывайте A final , пока вы все еще используете его в расчете умножения матриц! Сделайте копию.
// A composite transformation matrix (roll, then tilt)
double a_final[4][4] =
{
{1, 0, 0, 0},
{0, 1, 0, 0},
{0, 0, 1, 0},
{0, 0, 0, 1}
}; // the 4 x 4 identity matrix
double a_final_copy[4][4];
mCopy(a_final, a_final_copy); // make a copy of a_final
mmMul(rollMat, a_final_copy, a_final);
mCopy(a_final, a_final_copy); // update the copy
mmMul(tiltMat, a_final_copy, a_final);
Наконец, выполните то же умножение, что и выше: A final v = v 1
// Use the above matrix to transform v
mmMul(a_final, v, v_1);
От начала до конца
Преобразования камеры должны быть представлены в виде матрицы вида. Выполните здесь A представление v = v 1 здесь. ( v представляет ваши мировые координаты в виде вектора столбца 4 × 1, A final - ваш A вид .)
// World coordinates to eye coordinates
// A_view is a_final from above
mmMult(a_view, v_world, v_view);
Проекционные преобразования описывают перспективное преобразование. Это то, что делает ближе объекты больше, а дальше объекты меньше. Это выполняется после преобразования камеры. Если вам пока не нужна перспектива, просто используйте матрицу тождественности для матрицы проекции. В любом случае, выполните A v 1 = v 2 здесь.
// Eye coordinates to clip coordinates
// If you don't care about perspective, SKIP THIS STEP
mmMult(a_projection, v_view, v_eye);
Далее вам нужно сделать перспективное деление. Это углубляется в однородные координаты, которые я еще не описал. В любом случае, разделите каждый компонент v 2 на последний компонент v 2 . Если v 2 = [ x , y , z , w ] T , затем разделите каждый компонент на w (включая w ). В итоге вы должны получить w = 1. (Если ваша матрица проекции - это единичная матрица, как я описал ранее, этот шаг ничего не должен делать.)
// Clip coordinates to normalized device coordinates
// If you skipped the previous step, SKIP THIS STEP
for (int i = 0; i < 4; i++) {
v_ndc[i] = v_eye[i] / v[3];
}
Наконец, возьмите v 2 . Первые две координаты - ваши x и y координаты. Третий - z , который вы можете выбросить. (Позже, когда вы станете очень продвинутым, вы можете использовать это значение z , чтобы выяснить, какая точка находится перед или позади какой-либо другой точки.) И в этот момент последний компонент - w = 1, так что вам это больше не нужно.
x = v_ndc[0]
y = v_ndc[1]
z = v_ndc[2] // unused; your screen is 2D
Если вы пропустили шаги разделения перспективы и перспективы, используйте v_view вместо v_ndc выше.
Это очень похоже на набор систем координат OpenGL . Разница в том, что вы начинаете с мировых координат, тогда как OpenGL начинается с координат объекта. Разница заключается в следующем:
- Вы начинаете с мировых координат
- OpenGL начинается с координат объекта
- Вы используете матрицу вида для преобразования мировых координат в координаты глаза.
- OpenGL использует матрицу ModelView для преобразования координат объекта в координаты глаза
С этого момента все остается прежним.