Драйвер Firefox создает новый анонимный профиль для каждого экземпляра, так что он работает в вашем профиле по умолчанию, но не с WebDriver, не удивительно.
WebDriver обычно неплохо справляется с проблемами сертификатов, но есть крайний случай: вы обслуживаете действительный сертификат, который не соответствует имени хоста, с которого он обслуживается (например, производственные сертификаты в тестовой среде). Если это так, вам нужно установить флаг в профиле Firefox:
profile = Selenium::WebDriver::Firefox::Profile.new
profile.assume_untrusted_certificate_issuer = false
browser = Watir::Browser.new(:firefox, :profile => profile)
Если это не поможет, вы также можете просто использовать свой профиль по умолчанию в качестве модели:
browser = Watir::Browser.new(:firefox, :profile => "default")