Извините за путаницу.FacebookClient не является прямой заменой FacebookApp.FacebookApp раньше смотрел на сессию и получал access_token.FacebookClient этого не делает.
Я бы посоветовал взглянуть на этот учебник, и вы найдете подходящий способ сделать это.Но вкратце вам нужно сделать это:
var accessToken = FacebookWebContext.Current.AccessToken;
var client = new FacebookClient(accessToken);
или использовать FacebookWebClient, например:
var client = new FacebookWebClient();
FacebookWebClient будет обрабатывать получение маркера доступа из сеанса для вас.FacebookClient не будет.