Вы можете захотеть сериализовать XMLDocument перед сохранением его в хранилище:
var xml = new XMLSerializer().serializeToString(originalDom);
sessionStorage.setItem("myDocument", xml);
и затем десериализовать после загрузки данных из хранилища:
var xml = sessionStorage.getItem("myDocument");
var restoredDom = new DOMParser().parseFromString(xml, "text/xml");