Вы не можете. sessionStorage
- это то, что находится в браузере на клиентском компьютере. ASP.NET MVC находится на вашем сервере. Вы не можете просто «перетащить» данные браузера клиента на ваш сервер, браузер должен отправить их вам.
Используя JavaScript, вы можете прочитать все, что находится в хранилище сеанса, а затем сделать AJAX-запрос для отправки его в ASP.NET MVC.
let sessionData = sessionStorage.yourData;
this.http.post('api/wherever', sessionData).subscribe(response => { ... });
Другой вариант - хранить данные не в хранилище сеанса, а внутри файла cookie. Данные cookie передаются вместе с каждым HTTP-запросом, отправляемым на ваш сервер. Таким образом, данные будут немедленно доступны в ASP.NET MVC.