частичный порядок - конечное множество - минимальный элемент

Question

Доказательство по индукции .Every частичный порядок для непустого конечного набора хотя бы одного минимального элемента.

Как I может решить этот вопрос?

Answer 1

Это тривиально верно, если в наборе есть только один элемент.Теперь предположим, что это верно для всех наборов размера

Answer 2

Если частичный заказ имеет размер 1, это очевидно.

Предположим, что это верно для частичных заказов <n, а затем возьмите частичный заказ (P,<) имеет размер n.

Pick x in P.Пусть P(<x) = { y in P : y<x }

Если P(<x) пусто, то x является минимальным элементом.

В противном случае P(<x) строго меньше, чем P, поскольку xне в P(<x).Таким образом, у poset (P(<x),<) должен быть минимальный элемент, y.

. Этот y должен быть минимальным элементом P, поскольку, если z<y in P, то z<xи, следовательно, z будет в P(<x) и меньше, чем y, что противоречит предположению, что y было минимальным в P(<x).