Неверные собственные векторы, но правильные собственные значения с помощью QR-алгоритма с кусочком питона

Question

Я сделал очень простой код QR-алгоритма, который возвращает собственные значения и собственные векторы.Во многих случаях это работает хорошо.Однако в некоторых случаях он возвращает неправильные собственные векторы, хотя собственные значения верны.

Например, матрица из: [[52,30,49,28],[30,50,8,44],[49,8,46,16],[28,44,16,22]], процесс возвращает правильные собственные значения и собственные векторы.Но, в случае: [[1,-2,0,5],[0,7,1,5],[0,4,4,0],[0,0,0,2]], он возвращает неправильные собственные векторы с правильными собственными значениями.Я проверил правильные значения с помощью функции 'восемь', и все правильные собственные значения и собственные векторы являются действительными числами.Таким образом, это не проблема комплексных чисел.Я не могу понять, почему это происходит.

import numpy as np 

def process(self, mat: List[List[float]]):
    check = True
    a = mat[:]
    residual = 0.00001
    eigenValues = []
    eigenVectors = np.eye(len(mat))

    while check:
        check = False
        q, r = np.linalg.qr(a)
        a = np.dot(r, q)
        eigenVectors = np.dot(eigenVectors, q)

        for i in range(len(mat)):
            for j in range(i):
                if abs(a[i][j]) > residual: check = True

    for i in range(len(a)): eigenValues.append(a[i][i])

    print(eigenValues) #[1.0, 8.000000054834647, 2.9999999451653365, 2.0]
    print(eigenVectors) #[[1.0, 0.0, 0.0, 0.0], 
                          [0.0, 0.7071067941112008, -0.7071067682618934, 0.0], 
                          [0.0, 0.7071067682618939, 0.7071067941112008, 0.0], 
                          [0.0, 0.0, 0.0, 1.0]]
    # The correct eigenvectors are 
       [[ 1.         -0.19802951  0.23570226  0.90744251],
        [ 0.          0.69310328 -0.23570226 -0.1814885 ],
        [ 0.          0.69310328  0.94280904  0.362977  ],
        [ 0.          0.          0.          0.1088931 ]]

Это проблема, возникающая из алгоритма рефлексии домохозяйства, который принимает файл numpy.linalg.qr?Нужно ли применять вращение Гивенса?Или дело в коде моего алгоритма QR?

Answer 1

Алгоритм QR, как известно, способен получить как собственное значение, так и собственный вектор, когда входная матрица симметрична, но для асимметричного случая такого обещания нет.

Следовательно, ваша первая входная матрица работает, потому что онасимметрично.

Ваша вторая матрица ввода не симметрична.