Я просто помещаю это здесь, чтобы не оставить вопрос без ответа. Это на самом деле так же, как вы предложили в комментарии.
<Switch>
<Route exact path="/" />
<Route path="*" component={Header} />
</Switch>
К сожалению, я не нашел лучшего решения, как вы просили.