Как реализовать адаптивный размер шага Runge-Kutta Cash-Karp?

Question

Пытается реализовать адаптивный размер шага Runge-Kutta Cash-Karp, но терпит неудачу с этой ошибкой:

home/anaconda/lib/python3.6/site-packages/ipykernel_launcher.py:15: RuntimeWarning: divide by zero encountered in double_scalars from ipykernel import kernelapp as app

ODE, которую я пытаюсь решить (и использую в примере ниже, преобразован из более высокого порядка)к системе ODE 1-го порядка):

Вот реализация, которую я использую:

def rkck(f, x, y, h, tol):
    #xn = x + h
    err = 2 * tol
    while (err > tol):
        xn = x + h
        k1 = h*f(x,y)
        k2 = h*f(x+(1/5)*h,y+((1/5)*k1)) 
        k3 = h*f(x+(3/10)*h,y+((3/40)*k1)+((9/40)*k2))
        k4 = h*f(x+(3/5)*h,y+((3/10)*k1)-((9/10)*k2)+((6/5)*k3))
        k5 = h*f(x+(1/1)*h,y-((11/54)*k1)+((5/2)*k2)-((70/27)*k3)+((35/27)*k4))
        k6 = h*f(x+(7/8)*h,y+((1631/55296)*k1)+((175/512)*k2)+((575/13824)*k3)+((44275/110592)*k4)+((253/4096)*k5))
        yn4 = y + ((37/378)*k1)+((250/621)*k3)+((125/594)*k4)+((512/1771)*k6)
        yn5 = y + ((2825/27648)*k1)+((18575/48384)*k3)+((13525/55296)*k4)+((277/14336)*k5)+((1/4)*k6)
        err = yn4[-1]-yn5[-1]
        if (err != 0):
            h = 0.8 * h * (tol/err)**(1/float(5))
        yn = yn4
    return xn, yn

def integrate_sStepControl(f, t0, y0, tend, h, tol):
    T = [t0]
    Y = [y0]
    t = t0
    y = y0 
    while (t < tend):
        h = min(h, tend-t)
        t, y = rkck(f, t, y, h, tol)
        T.append(t)
        Y.append(y)
    return np.array(T), np.array(Y)

def f_1(t,y): 
    return np.array([ y[1], -y[0]-(y[0])**3 ])

Y0_f1 = np.array([1.0,1.0])


# Execution
h = 0.05
tv, yv = integrate_sStepControl(f=f_1, t0=0.0, y0=Y0_f1, tend=100.0, h=h, tol=1.0E-05)
print("[ %20.15f, %20.15f]"%(yv[-1,0], yv[-1,1]) )
plt.plot(tv, yv)

Получениеошибка выше, но она получается.Не знаю, что я делаю здесь не так: - /

РЕДАКТИРОВАТЬ: добавлена ​​проверка на ошибку == 0

Answer 1

На самом деле необходимо передать обратно вычисленный новый размер шага h, чтобы его можно было использовать в основном цикле для первого шага.

Ошибка должна быть вычислена как норма.Добавьте небольшое число, чтобы избежать деления на ноль.

Для метода 4-го порядка начальная ошибка равна C*h^5.Это нужно сравнить с желаемой локальной ошибкой tol*h.В итоге получается 4-й корень для вычисления оптимального h.Взятие 5-го корня обеспечивает некоторое ослабление, однако влияние на глобальную ошибку не совсем прямое.