A норма - это концепция, которая имеет смысл только тогда, когда у вас есть векторное пространство. Он определяет понятие величины векторов и может использоваться для измерения расстояния между двумя векторами как величины его разности. Нормы линейны в том, что они сохраняют (положительное) масштабирование. Это означает, что если вы масштабируете (увеличиваете) конфигурацию векторов (увеличиваете или уменьшаете ее (операция, которая имеет смысл только в векторном пространстве), расстояния между векторами будут масштабироваться в той же пропорции.
A метрика является более общим понятием, которое можно предсказать в пространствах, где нет базовой алгебраической структуры. Они воплощают концепцию расстояния с независимостью от любых алгебраических признаков (которые могут даже не существовать в этих пространствах). Если у вас есть норма, у вас есть расстояние, но вы можете иметь расстояние без какой-либо операции суммирования или скалярного действия.
Существует третий уровень абстракции, где понятие близости может быть выражено безо всякого расстояния. Они называются топологическими пространствами, и их воплощение опирается не на концепцию расстояния (или норм), а на концепцию окрестности .