Для тех, кто в будущем столкнулся с этой проблемой, вот мое решение.
$acf_fields = array(
'user_name' => 'field_5ca80efacb9fb',
'userQuestion' => 'field_5ca80f19cb9fc',
'userQuestionAnswer' => 'field_5ca80f2acb9fd',
);
$new_post = array(
'post_title' => $_POST['user_name'],
'post_status' => 'publish',
'post_type' => 'entries'
);
$post_id = wp_insert_post($new_post);
foreach ( $_POST as $field_name => $value ) {
if( isset( $_POST[$field_name] ) ) {
update_field( $acf_fields[$field_name], $value, $post_id );
}
}