Каков ожидаемый период повторяющегося события, которое имеет случайный (но ограниченный) интервал между каждым вхождением?

Question

Хорошо, у нас есть это событие. Круто, верно?

У нас также есть таймер с фиксированной максимальной продолжительностью, как один из тех кухонных таймеров. Не совсем круто, но определенно удобно.

Когда таймер выключается, происходит событие, и таймер сбрасывается до некоторого случайного значения от нуля до максимальной продолжительности (каждое значение имеет равный шанс или выбирается). Таймер запускается сразу, а процесс продолжается вечно.

Мой вопрос: каков эффективный период события? То есть, если другое повторяющееся событие имеет фиксированный период, каким должен быть этот период, чтобы два события имели одинаковое число случаев в течение очень большого количества времени.

Я хочу сказать, что это половина максимальной продолжительности таймера, но я не знаю почему, и я не удивлюсь, если это не так.

Answer 1

Я хочу сказать, что это половина максимальной продолжительности таймера, но я не знаю почему, и я не удивлюсь, если это не так.

Ваша интуиция верна. Это просто равномерный выбор случайных чисел из интервала [0, N], где N - максимальное количество минут на таймере. Ожидаемое значение такого выбора является средним из минимального (0) и максимального (N) значений, поэтому результат равен N / 2.

Вы можете представить некоторые другие подобные случаи; например, ожидаемое значение броска штампа составляет 3,5, поскольку минимальное значение равно 1, а максимальное равно 6, что дает (1 + 6) / 2 = 3,5.

Answer 2

Я думаю, что вы правы: 0,5 * максимальная продолжительность таймера.

Причина: максимальный период при данной настройке будет максимальной продолжительностью таймера.

Средняя выбранная продолжительность будет равна максимальному периоду таймера, если все они имеют равную вероятность: сложите их, разделите на количество и убедитесь сами:

Пример: значения 1, 2, 3, 4, 5, 6

Поскольку каждая из них имеет одинаковую вероятность выбора, для N велико: 1 будет выбрано N / 6 раз, 2 будет выбрано N / 6 раз и т. Д.

Мы складываем их все: N / 6 * (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = N / 6 * (21) = N * 21/6 = N * 3,5 ==> средний период для N событий срабатывание составило 3,5, что является более или менее максимальной продолжительностью таймера.