Если весь ваш код работает правильно в цепочке, то только один поток будет одновременно выполнять ваш код.
Поток, выполняющий ваш код, будет переключаться между тремя доступными потоками, но одновременно будет выполняться только одна функция.
Следовательно, вам не нужны мьютексы, это часть идеи использования нитей, поскольку мьютексы сложно правильно использовать в асинхронном коде.