Как сложность времени алгоритма Прима ElogV, используя Приоритет Q?

Question

Псевдокод, который я использовал:

for all V vertices: visited[n]=0

pick any vertex r from graph and set visited[r]=1

For all edges e incident to r
PQ.insert()

while(PQ is not empty)//line 1
  f=PQ.min()//f(r,s) is such that visited[s]=0
  for all edges e(s,t) incident to s//line 2
     if(visited[t]==0)
        PQ.insert(e);//line 3
     else
        PQ.delete(e);//line 4
  visited[s]=1;
end while;

Насколько я понимаю:

• строка 1: выполняется V-1 раз.
• Строка 2: сумма степеней всех времен вершин… ..это 2E раз

Для каждой строки 2: Строка 3 и строка 4 занимают log E время, потому что мы добавляем / удаляем все ребра в / из PQ по одному.

Итого time = V-1+2E.logE = E.log E

Но в книге сказано, что это E.logV, не могли бы вы объяснить, почему это так?

Answer 1

O (log (V)) и O (log (E)) одинаковы.

• E не более V ² .
• log (V ² ) = 2 * log (V)
• который является O (log (V))

Answer 2

для всех ребер e (s, t), инцидентных s

Сколько ребер у узла s может быть максимум?
V-1 самое большее. Таким образом, операции PQ имеют сложность времени O (logV).