Рассчитать матрицу преобразования трехмерной плоскости по 4 углам

Question

У меня есть трехмерная плоскость в начале координат, которая выровнена с мировой плоскостью X / Y (лицом к оси Z). Затем у меня есть четыре трехмерных положения вершин для новой плоскости, преобразованной в какое-то место в трехмерном пространстве.

Обе плоскости имеют одинаковый порядок намотки для всех 4 вершин.

У меня есть гарантия, что 4 угла плоские, а перекос отсутствует (возможно, плоскость все еще масштабировалась по осям x / y).

Как мне создать матрицу преобразования 4x4, учитывая последние 4 угла этой плоскости?

Answer 1

Предположим, что самолет выглядит так:

Построить "локальную основу" плоскости, используя:

• Ось X параллельна AD / BC
• Ось Y параллельна AB / CD
• Ось Z параллельна нормали
• Происхождение O в центре четырехугольника

Матрица преобразования может быть разбита на 3 компонентов:

---

1 - Масштаб

Поскольку исходный квад имеет размеры 1x1 единиц, коэффициент масштабирования вдоль локальных осей X и Y представляет собой просто длины сторон, то есть длины AD и AB соответственно. Игнорируйте масштабный коэффициент Z, так как четырехугольник плоский.

Следовательно, составляющая масштабирования определяется как:

---

2 - Вращение

Компонент вращения может быть непосредственно построен из локальных базисных осей X, Y, Z; каждый вектор (нормализованный) является соответствующим столбцом матрицы.

Следовательно, вращательная составляющая определяется как:

---

3 - Перевод

Это самый простой; вектор трансляции - это просто абсолютная координата центра квада O и он равен последнему столбцу матрицы.

Поэтому трансляционная составляющая определяется как:

---

Окончательную матрицу можно получить, умножив вышеприведенное в следующем порядке:

т.е. компоненты применяются в порядке 1 * 2 ⇨ 3 .