Найти области полигонов: интеграция с вертикальными и горизонтальными геометрическими ограничениями

Question

Я пытаюсь вычислить области, которые выше нуля и находятся под кривой. Моя кривая имеет дискретные значения x и y, которые выглядят как в примере ниже.

y <- c(-1, 5, 2, 3.5, 1, 5.5, -2, 3, -1)
plot(1:length(y), y, type = "l")
abline(h = 0)

Я пытаюсь вычислить области, подверженные вертикальным и горизонтальным геометрическим ограничениям:

• (по вертикали) под кривой, но выше нуля;
• (по горизонтали) между двумя соседними локальными минимумами.

То есть мне нужны области многоугольников A , B , C и D на изображении ниже.

Сейчас я борюсь с двумя вещами:

1. Я определил индекс положения локальных минимумов, используя: which(diff(sign(diff(y))) == 2) + 1, но это не дало мне верхнего значения x для C или более низкого значения x для D . Как получить те точки, где кривая пересекается с нулями?

2. Я думаю, что если я смогу получить 1) правильный список локальных минимумов выше нуля, 2) эти точки пересечения в нуле, 3) правильный список локальных максимумов выше нуля, я знаю все граничные точки A , B , C и D , так что вычисление их областей будет возможным. Но это не кажется простым для кода на R. Это действительно самый простой способ решить мою проблему, или есть лучшие методы?

Answer 1

## (x, y) data
y <- c(-1, 5, 2, 3.5, 1, 5.5, -2, 3, -1)
x <- 1:length(y)

---

Аналитический метод

Ваше желаемое вычисление может быть сделано в два шага:

1. кусочный интеграл на каждом линейном сегменте. Нет проблем, если вы хотите интегрировать только нулевую пропорцию (см. Подробности ниже);
2. агрегированные по частям результаты соответственно для областей A , B , C и D (подробности см. Ниже).

шаг 1: кусочный интеграл для пропорции выше нуля

Если есть данные n (x, y), то будет (n - 1) сегментов. Обозначим (xl, yl) как левую точку сегмента, а (xr, yr) как правую точку.

1. если (yl < 0) && (yr < 0), весь сегмент ниже нуля;
2. если (yl > 0) && (yr > 0), весь сегмент выше нуля;
3. если (yl < 0) && (yr > 0), сегмент увеличивается, пересекая ноль;
4. , если (yl > 0) && (yr < 0), сегмент уменьшается, пересекая ноль.

В случаях 3 и 4 обозначим (xm, 0) точкой пересечения. xm легко определить. Уравнение для отрезка составляет

y = yl + (yr - yl) * (x - xl) / (xr - xl)

Установив y в 0, вы получите

xm = xl - yl * (xr - xl) / (yr - yl)

Поскольку вы хотите интегрировать пропорцию выше нуля каждого сегмента, мы имеем для каждого случая:

1. интеграл равен 0;
2. площадь трапеции и интеграл (yl + yr) * (xr - xl) / 2;
3. область представляет собой треугольник между (xm, 0) и (xr, yr); интеграл составляет yr * (xr - xm) / 2;
4. область представляет собой треугольник между (xl, yl) и (xm, 0); интеграл равен yl * (xm - xl) / 2.

Поскольку вы в конечном итоге захотите применить вычисления к длинным векторам, я бы представил вычисления в функции Rcpp.

library(Rcpp)

cppFunction('NumericVector foo_cpp (NumericVector x, NumericVector y) {
  int n_segments = x.size() - 1;
  NumericVector integral(n_segments);
  double xl, xr, yl, yr, xm; int i;
  for (i = 0; i < n_segments; i++) {
    xl = x[i]; xr = x[i + 1];
    yl = y[i]; yr = y[i + 1];
    if (yl < 0 && yr < 0) integral[i] = 0.0;
    if (yl > 0 && yr > 0) integral[i] = 0.5 * (yl + yr) * (xr - xl);
    if (yl < 0 && yr > 0) {
      xm = xl - yl * (xr - xl) / (yr - yl);
      integral[i] = 0.5 * yr * (xr - xm);
      }
    if (yl > 0 && yr < 0) {
      xm = xl - yl * (xr - xl) / (yr - yl);
      integral[i] = 0.5 * yl * (xm - xl);
      }
    }
  return integral;
  }')

z <- foo_cpp(x, y)
#[1] 2.083333 3.500000 2.750000 2.250000 3.250000 2.016667 0.900000 1.125000

Мне лень заниматься дальнейшей оптимизацией кода. Его скорость достаточно хороша для вашего практического использования.

шаг 2: агрегирование

Вы фактически разрезаете сегменты на куски по локальным минимумам и стремитесь вычислить интеграл на каждом кусочке.

Индекс позиции для локальных минимумов (как вы выяснили в своем вопросе):

which(diff(sign(diff(y))) == 2) + 1
#[1] 3 5 7

Это означает, что сегменты должны быть разделены по точкам разрыва:

b <- which(diff(sign(diff(y))) == 2)
#[1] 2 4 6

То есть

## number of segments per chunk
n_chunks <- length(x) - 1
n_segments_per_chunk <- diff(c(0, b, n_chunks))
#[1] 2 2 2 2

## grouping index for each chunk
grp <- rep.int(seq_along(n_segments_per_chunk), n_segments_per_chunk)
#[1] 1 1 2 2 3 3 4 4

Итак, области A , B , C и D :

sapply(split(z, grp), sum)
#       1        2        3        4 
#5.583333 5.000000 5.266667 2.025000

---

Численный метод

## original linear interpolation function
f <- approxfun(x, y)

## a function zeroing out below-zero part of `f`
g <- function (x) {
  fx <- f(x)
  ifelse(fx > 0, fx, 0)
  }

## local minima
x_minima <- x[which(diff(sign(diff(y))) == 2) + 1]

## break points for numerical integration
xx <- c(x[1], x_minima, x[length(x)])

## integration will happen on:
# cbind(xx[-length(xx)], xx[-1])
#     [,1] [,2]
#[1,]    1    3  ## A
#[2,]    3    5  ## B
#[3,]    5    7  ## C
#[4,]    7    9  ## D

## use `mapply`
mapply(function (lwr, upr) integrate(g, lower = lwr, upper = upr)$value,
       xx[-length(xx)], xx[-1])
#[1] 5.583333 5.000000 5.266679 2.025000