Преобразование точек из одной координаты в другую

Question

У меня есть точки данных в 2D координатном пространстве, которые я хочу линейно преобразовать в другое координатное пространство. Изображение ниже немного прояснит ситуацию.

Точки данных, которые у меня есть, находятся в сером координатном пространстве (левый верхний угол A - это точка x = 0, y = 0). Я хочу преобразовать все точки в розовую систему координат, для которой B является ее точкой x = 0, y = 0.

Как бы я поступил так?

Answer 1

Это не линейное преобразование.

Определите эту "систему координат" как выпуклый квад, следующим образом:

Координаты вершины находятся в пространстве параметров u, v. Интерполяция в одном направлении, а затем в другом дает общую точку:

Это билинейный в параметрах u, v. Она становится линейной, только если A + D - B - C = 0, то есть четырехугольник является параллелограммом.

---

Преобразование между такими системами координат:

1. Предположим (обязательно), что эти ABCD вершины вложены в "глобальное" декартово пространство
2. Преобразовать из пространства параметров первой системы в глобальное пространство, используя интерполяцию, как указано выше

3. Преобразование обратно в пространство параметров путем обращения приведенного выше уравнения к решению пары уравнений:

   

   Решения для u, v:

   • 1 для параллелограмма (G = 0)
   • 2 для общего выпуклого четырехугольника, поскольку координатные линии (серые) пересекают особенность в каждом направлении
   • 0 для вогнутого четырехугольника (комплексные решения)