Как правильно округлить функцию квадратного корня? - PullRequest
Новая
       89

Как правильно округлить функцию квадратного корня?

0 голосов
/ 10 сентября 2018

В настоящее время я работаю над математической библиотекой Java, которая будет включать в себя множество правильно округленных функций (то есть sqrt, cbrt, exp, sin, gamma и ln). Я уже использовал вавилонский метод, чтобы написать алгоритм с квадратным корнем, который является правильным с точностью до 1 ulp правильного ответа. Однако я не могу понять, как правильно рассчитать, каким образом число должно быть округлено, чтобы представить наилучшее возможное приближение к фактическому квадратному корню из входных данных. Ответы, содержащие принципы, которые могут быть распространены на другие функции, были бы предпочтительнее, но я слышал, что sqrt - более простой случай, чем многие трансцендентные функции, и специальные решения также будут высоко оценены.

Кроме того, вот исправленная версия моего кода на момент первоначального представления этого вопроса: 

public static double sqrt(double x) {
    long bits = Double.doubleToLongBits(x);

    // NaN and non-zero negatives:
    if (Double.isNaN(x) || x < 0) return Double.NaN;

    // +-0 and 1:
    if (x == 0d || x == 1d) return x;

    // Halving the exponent to come up with a good initial guess:
    long exp = bits << 1;
    exp = (exp - 0x7fe0000000000000L >> 1) + 0x7fe0000000000000L >>> 1 & 0x7ff0000000000000L;
    double guess = Double.longBitsToDouble(bits & 0x800fffffffffffffL | exp);
    double nextUp, nextDown, guessSq, nextUpSq, nextDownSq;

    // Main loop:
    while (true) {
        guessSq = guess * guess;
        if (guessSq == x) return guess;
        nextUp = Math.nextUp(guess);
        nextUpSq = nextUp * nextUp;
        if (nextUpSq == x) return nextUp;
        if (guessSq < x && x < nextUpSq) {
            double z = x / nextUp;
            if (z * nextUp > x) z = Math.nextDown(z);
            return z < nextUp ? nextUp : guess;
        }
        nextDown = Math.nextDown(guess);
        nextDownSq = nextDown * nextDown;
        if (nextDownSq == x) return nextDown;
        if (nextDownSq < x && x < guessSq) {
            double z = x / guess;
            if (z * guess > x) z = Math.nextDown(z);
            return z < guess ? guess : nextDown;
        }

        // Babylonian method:
        guess = 0.5 * (guess + x / guess);
    }
}

Как видите, я использовал деление в качестве теста. Однако я считаю, что для округления требуется округление до 0, что, очевидно, не происходит в Java.

1 Ответ

0 голосов
/ 10 сентября 2018

По теореме Тейлора функция квадратного корня локально аппроксимируется линейной функцией с наклоном 1 / 2√x, которая является положительной. Таким образом, вы можете связать ошибку с ошибкой в ​​квадрате x - (√x) ², где √x понимается как приблизительный корень. Затем вы поворачиваетесь в направлении, которое минимизирует эту ошибку.

В любом случае, вычисление x - (√x) ² подвергается катастрофической отмене, и вам может потребоваться повышенная точность для надежного вычисления. Не уверен, что выгода стоит усилий.

...