Гипотеза Теплица: Каждая непрерывная простая замкнутая кривая на плоскости содержит четыре точки, которые являются вершинами квадрата.
Я пытался найти общее решение для (почти) любой кривой f (x, y) = 0 .
Например:
(- 1 + x ^ 2 + y ^ 2) ^ 3 - x ^ 2 * y ^ 3 = 0
ContourPlot[(-1 + x^2 + y^2)^3 == x^2*y^3, {x, -1.4, 1.4}, {y, -1.3, 1.5},
Frame -> False, PlotPoints -> 200]
Существует три общих условия , чтобы найти вершины квадрата:
Координаты вершин: (p1, k1), (p2, k2), (p3, k3), (p4, k4)
Пусть
g[x_, y_] := (x^2 + y^2 - 1)^3 - x^2 y^3
1 .. Координаты вершины удовлетворяют уравнению сердца g (x, y) = 0
eq1 = g[p1, k1] == 0;
eq2 = g[p2, k2] == 0;
eq3 = g[p3, k3] == 0;
eq4 = g[p4, k4] == 0;
2 .. Все стороны имеют одинаковую длину.
eq5 =
EuclideanDistance[{p1, k1}, {p2, k2}] ==
EuclideanDistance[{p2, k2}, {p3, k3}] ==
EuclideanDistance[{p3, k3}, {p4, k4}] ==
EuclideanDistance[{p1, k1}, {p4, k4}];
3 .. Каждый внутренний угол - это прямой угол
angle1 = VectorAngle[{p4 - p1, k4 - k1}, {p2 - p1, k2 - k1}] == Pi/2;
angle2 = VectorAngle[{p1 - p2, k1 - k2}, {p3 - p2, k3 - k2}] == Pi/2;
angle3 = VectorAngle[{p4 - p3, k4 - k3}, {p2 - p3, k2 - k3}] == Pi/2;
У меня есть 8 уравнений и 8 переменных , и я хочу найти численные решения с помощью Mathematica
Я пытался:
NSolve[eq1 && eq2 && eq3 && eq4 && eq5 && angle1 && angle2 && angle3,
{p1, p2, p3, p4, k1, k2, k3, k4}]
или
FindRoot[{eq1 && eq2 && eq3 && eq4 && eq5 && angle1 && angle2 && angle3},
{{p1, 1}, {k1, 1}, {p2, 1}, {k2, 1}, {p3, 1}, {k3,1}, {p4, 1}, {k4, 1}}]
Но ответа нет ...