Похоже, вы ожидаете поведение веб-приложения от "проекта" веб-сайта.
На веб-сайте каждый файл ASPX / ASHX (за пределами App_Code) считается содержимым. В любой момент вы можете просто опубликовать несколько файлов на веб-сайте. Следовательно, объединять их все в одну сборку нежелательно.
С веб-приложением вы обычно не публикуете только несколько файлов, вы завершаете этап приложения, компилируете все вместе, а затем публикуете.
Вы, кажется, указываете, что у вас есть "классы", объявленные вне App_Code? Где бы они были, если бы не в своем собственном проекте DLL? Если в проекте DLL, то вам нужно создать ссылку на проект в свойствах веб-сайта.