Отображение точек из евклисова 2-пространства на диск Пуанкаре

Question

Почему-то кажется, что все, кто пишет веб-страницы о дисках Poincare, озабочены только тем, как представлять линии и измерять расстояния.

Я хотел бы преобразовать набор 2D точек (как определено координатами x, y в евклидовой плоскости) на диск Пуанкаре, но я не знаю, каким должен быть алгоритм. На данный момент я даже не знаю, возможно ли создать отображение между евклидовым 2-пространством и диском Пуанкаре ...

Есть указатели?

Goodwill, David

Answer 1

Вы описываете свои данные как набор точек. Но из ваших комментариев вы хотите, чтобы линии на плоскости по-прежнему отображались на линии на диске. Кажется, вы хотите как-то сохранить «структуру» пространства, поэтому, вероятно, вы используете термин «морф». Я думаю, что вы хотите конформную карту .

Между диском и плоскостью существует нет конформной биекции. - это такое отображение между полуплоскостью и диском, и оно сохраняет " lines ", но, к сожалению, не того типа, который вам нужен 1015 *

Вы сказали: «Я даже не знаю, возможно ли создать сопоставление» ... есть несколько сопоставлений, из которых вы можете выбрать (см. Страницу Unit Disk для примера) но нет ни одного со всеми функциями, которые вы, кажется, хотите.

Answer 2

Если я все правильно понимаю, ответ, который вы получите на другом форуме, относится к модели Бельтрами-Кляйна. Получив это, вы можете добраться до координат на диске Poicare с помощью

p = b / (1 + sqrt(1 - b * b))

Где p - вектор координат на диске Пуанкаре (то есть то, что вам нужно), а b - это вектор в модели Бельтрами-Кляйна (то есть, что вы получите из другого ответа).