Как правильно выбрать параметры начальной подгонки, так как я предполагаю двойной экспоненциальный спад?

Question

Я застрял с предварительным сбоем при попытке угадать начальные параметры подгонки для scipy.optimize.curve_fit, чтобы соответствовать моим данным (которые имеют логарифмическую c ось y). Я предполагаю, что это двойная экспоненциальная подгонка из-за двойного затухания (хотя я могу ошибаться). Код и полученный график приведены ниже.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def double_exponential(x, a, b, c, d):
    return a*np.exp(-c*(x-b))+d

fig, ax = plt.subplots()
x = np.array([7.13793103, 21.4137931, 35.68965517, 49.96551724, 64.24137931, 78.51724138, 92.79310345, 107.06896552, 121.34482759, 135.62068966, 149.89655172, 164.17241379, 178.44827586, 192.72413793, 207.00000000, 221.27586207, 235.55172414, 249.82758621, 264.10344828, 278.37931034, 292.65517241, 306.93103448, 321.20689655, 335.48275862, 349.75862069, 364.03448276, 378.31034483, 392.5862069, 406.86206897, 421.13793103])
y = np.array([169954, 20599, 7309, 3989, 2263, 1569, 1134, 1017, 788, 806, 693, 528, 502, 431, 445, 367, 277, 267, 255, 189, 171, 109, 76, 36, 18, 9, 4, 3, 2, 1])
y_pruned = np.where(y < 1, 1, y)
p0 = (1.0, 1.0, 1.0, 1.0)  # only an example (I've tried other values without success)
popt, pcov = curve_fit(double_exponential, x, np.log(y_pruned), p0=p0)

ax.plot(x, double_exponential(x, *popt), 'g--')
ax.plot(x, np.log(y_pruned), 'ro')

ax.set_yscale('log')  # I need to have the y-axis logarithmic
plt.show()

Answer 1

Я могу ошибаться, но мне кажется, что это не двойная экспонента. На лог-графике он выглядит как многочлен четвертого порядка, и, если попытаться, он подходит очень хорошо:

Я только что установил x and np.log(y) используя функцию:

def f(x, a, b, c, d):
    return a*x**3 +b*x**2 + c*x + d

результат подгонки:

a:  -4.933e-07 +/- 4.82e-08   (-9.8%)  initial:1
b:  0.0003011 +/- 3.14e-05   (10.4%)  initial:1
c:  -0.06804 +/- 0.00579   (-8.5%)  initial:1
d:  11.406  +/- 0.286      (2.5%)  initial:1

Если вы действительно хотите соответствовать x и y, а не log(y), это немного сложнее, поскольку остаток от первых нескольких точек намного больше, а функция подгонки игнорирует маленькую точку справа:

def f(x, a=-4.933e-07, b=0.0003011, c=-0.06804, d=11.406):
    return np.exp(a*x**3 +b*x**2 + c*x + d)

Конечно, вы можете отрегулировать это поведение, взвешивая точки в функции подгонки, и это работает, но мне кажется, что это немного сложнее, чем просто подгонка журнала данных: