Как я могу построить матрицу, заданную генератором для этой группы cycli c?

Question

Пусть F [q ^ p] - конечный циклический набор c полиномов, где q - простое число, а p - целое число больше 0. Каждый элемент в F [q ^ p] будет полиномом вверх до степени (p-1) в (mod q).

Пример: F [2 ^ 2] = {0,1, x, 1 + x}

Пример: F [3 ^ 4] = {0,1,2,0 + х, 1 + х, 2 + х, 0 + х ^ 2,1 + х ^ 2,2 + х ^ 2, х + х ^ 2,1 + х + х ^ 2,2 + х + х ^ 2,2x + х ^ 2,1 + 2й + х ^ 2,2 + 2й + х ^ 2,0 + 2й ^ 2,1 + 2й ^ 2,2 + 2е ^ 2, х + 2x ^ 2,1 + х + 2x ^ 2,2 + х + 2x ^ 2,2x + 2x ^ 2,1 + 2x + 2x ^ 2,2 + 2x + 2x ^ 2, ... , 2 + 2x + 2x ^ 2 + 2x ^ 3}

Таким образом, в F [q, p] будет q ^ p элементов.

Предположим, что у нас есть генератор тета, где тета ^ k, где k = 0,1,2, ..., q ^ p-1, будет генерировать весь конечный цикл c множество F [q ^ p].

Давайте рассмотрим более сложный пример выше F [3 ^ 4]. Как я могу построить алгоритм, который может генерировать шаблон, такой как этот для F [3 ^ 4], для любого F [q ^ p]?

(0)                (1)                (2)                (x)                (1+x)              ... (2+2x+2x^2+2x^3)
(0)+theta^(0+i)    (1)+theta^(0+i)    (2)+theta^(0+i)    (x)+theta^(0+i)    (1+x)+theta^(0+i)  ... (2+2x+2x^2+2x^3)+theta^(0+i)
(0)+theta^(1+i)    (1)+theta^(1+i)    (2)+theta^(1+i)    (x)+theta^(1+i)    (1+x)+theta^(1+i)  ... (2+2x+2x^2+2x^3)+theta^(1+i)
(0)+theta^(2+i)    (1)+theta^(2+i)    (2)+theta^(2+i)    (x)+theta^(2+i)    (1+x)+theta^(2+i)  ... (2+2x+2x^2+2x^3)+theta^(2+i)
...
(0)+theta^(q-2+i)  (1)+theta^(q-2+i)  (2)+theta^(q-2+i)  (x)+theta^(q-2+i)  (1+x)+theta^(q-2+i)  ... (2+2x+2x^2+2x^3)+theta^(q-2+i)

Заметим, что i = 1 ,. .., q-1, но для того, чтобы заставить это работать, давайте установим i = 1.

Сложная часть этой проблемы состоит в том, что вышеупомянутые элементы должны оставаться в (mod q), оставаясь при этом остающимися меньше, чем степень р.

Пример: (из пятого столбца, вторая строка выше) Предположим, что тета равен 0 + x. 1 + theta ^ 4 = 1 + x ^ 4, но x ^ 4 не входит в набор F [q ^ p], поскольку он выше степени (p-1) = 3. Итак, мы используем полиномиальное длинное деление, чтобы показать, что если мы разделим неприводимый многочлен x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 + 2x + 2 на x ^ 4, чтобы получить x ^ 3 + x ^ 2 + 2x + 2. (Неприводимый полином можно вычислить с помощью первой функции в моем коде ниже.)

Вот то, с чем я работал до сих пор, но я не добился большого прогресса.

library("polynom")

gf <- function(q,p){

  ### First we need to create an irreducible polynomial of degree p
  poly <- polynomial(coef=c(floor(runif(p,min=0,max=q)),1)) #This generates the first polynomial of degree p with coefficients ranging between the integer values of 0,1,...,q
  for(i in 1:(q^5*p)){ #we generate/check our polynomial a sufficient amount of times to ensure that we get an irreducible polynomial
    poly.x <- as.function(poly) #we coerce the generated polynomial into a function
    for(j in 0:q){ #we check if the generated polynomial is irreducible
      if(poly.x(j) %% q == 0){ #if we find that a polynomial is reducible, then we generate a new polynomial
        poly <- polynomial(coef=c(floor(runif(p,min=0,max=q)),1)) #...and go through the loop again
      }
    }
  }


  ### Now, we need to construct the cyclic group F[x] given the irreducible polynomial "poly"
  F <- matrix(ncol=p,nrow=q^p) #initialize the vector F

  ### Constructs an F[x], where each row contains the coefficients of the polynomial
  F <- as.matrix(expand.grid(lapply(1:p, function(i) 1:q-1L)))

  ### We need to solve for x^p using the irreducible polynomial above 
  ### https://rosettacode.org/wiki/Polynomial_long_division#R
  polylongdiv <- function(n,d) {
    gd <- length(d)
    pv <- vector("numeric", length(n))
    pv[1:gd] <- d
    if ( length(n) >= gd ) {
      q <- c()
      while ( length(n) >= gd ) {
        q <- c(q, n[1]/pv[1])
        n <- n - pv * (n[1]/pv[1])
        n <- n[2:length(n)]
        pv <- pv[1:(length(pv)-1)]
      }
      list(q=q, r=n)
    } else {
      list(q=c(0), r=n)
    }
  }


  ### Now we need to check for a generator
  for(i in (q+1):(q^p/2)){ #we can skip the first 1:q, since those are constants, and we don't need to calculate the second half of the set
    posgen <- F[i,] 
  }

  ### Now we construct the orthogonal mate Latin Square, which must be a List, since it's a 3-dimensional matrix
  gen <- c(0,1)
  LS <- list()
  i <- 1 #this will change later

  for(i in 1:(q^p)){ #this is working well
    LS[[i]] <- F[i,]%%q
  }

  for(k in (q^p+1):q^(2*p)){ #this gives the correct dimensions
    for(i in 1:q^p){ #this is where things are getting weird
      for(j in 0:(q-2)){
        LS[[k]] <- (F[i,] + gen^(j+sub))%%q
      }
    }
  }

  list(poly.x=poly.x,poly=poly,F=F,posgen=posgen,LS=LS)
}