Геометрия c Броуновское движение (гБМ) - это стохастический c процесс, который можно рассматривать как расширение стандартного броуновского движения.
Я пытаюсь написать функция, которая имитирует различные пути (ntraj пути) gBM, а затем строит гистограмму в определенных точках, указанных в списке tcheck. После построения этих графиков функция предназначена для наложения логнормального распределения на график каждый раз.
Вывод должен выглядеть следующим образом 
за исключением gBM, а не стандартного броуновского движения. Пока у меня есть функция для генерации нескольких путей gBM, как,
def oneDGeometricBM(nTraj=100,n=100,T=1.0,sigma=1,mu=0):
'''
DOCSTRING:
1D geomwtric brownian motion
INPUTS:
ntraj = "number of trajectories"
n = "length of a trajectory"
T = "last time point, i.e final tradjectory t = {0,1,...,T}"
sigma= volatility
mu= percentage drift
'''
np.random.seed(52323)
S_0 = 0
# Discretize, dt = time step = $t_{j+1}- t_{j}$
dt = T/(n)
sqrtdt = np.sqrt(dt)
# Container for different colors for each trajectory
colors = plt.cm.jet(np.linspace(0,1,nTraj))
# Container for trajectories
xtraj=np.zeros(n+1,float)
ztraj=np.zeros(n+1,float)
trange=np.linspace(start = 0,stop = T ,num = n+1)
# Simulation
# Random Variable $X_{n}$ is distributed np.sqrt(dt)* N(mu=0,sigma=1)
for j in range(nTraj):
# Loop over time
for i in range(n):
xtraj[i+1]=xtraj[i]+ sqrtdt * np.random.randn() + dt*mu
# Loop again over time in order to make geometric drift
ztraj = S_0 * np.exp(xtraj) # ztraj[z+1]= ztraj[0]+ np.exp(xtraj[z])
plt.plot(trange , xtraj,'b-',alpha=0.2, color=colors[j], lw=3.0,label="$\sigma$={}, $\mu$={:.5f}".format(sigma,mu))
plt.title("1D Geometric Brownian Motion:\n nTraj={}, T={},\n $\Delta t$={:.3f}, $\sigma$={}, $\mu$={:.3f}".format(nTraj,T,dt,sigma,mu))
plt.xlabel(r'$t$')
plt.ylabel(r'$Z_t$');
oneDGeometricBM(nTraj=5,n=10**3,T=10.0,sigma=0.8,mu=1.1)
Я видел много ответов на вопросы о том, как построить несколько пути gBM, но меня интересует, как взглянуть на гистограммы в определенные моменты времени c, а затем посмотреть на распределение. Ниже моя функция до сих пор. Это не работает, но я не могу понять, что я делаю неправильно. Я также добавил вывод, который получил.
import yfinance as yf
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import math
from scipy.stats import norm, lognorm
ntraj = 10000
S_0 =0
sigma=1
mu=1
tfinal = 4.0
tcheck = [0.5, 1.0, 4.0]
dt = 0.01
xv = 1.0
'''
ntraj = 10**4
tfinal = 4.0
tcheck = [0.5, 1.0, 4.0]
dt = 0.01
xv = 5.0 # limits
'''
n=int(tfinal/dt)
sqrtdt = np.sqrt(dt)
x=np.zeros(shape=[ntraj,n+1], dtype=float)
z=np.zeros(shape=[ntraj,n+1], dtype=float)
zrange=np.arange(start=-xv, stop=xv, step=dt)
# Calculate the number of the bins
binval = math.ceil(np.sqrt(ntraj))
# Nested for loop to create Drifted BM
for i in range(n):
for j in range(ntraj):
x[j,i+1]=x[j,i]+ sqrtdt*np.random.randn()
#Nested loop to create gBM
for j0 in range(ntraj):
for i0 in range(n+1):
z[j0,i0] = 0 + np.exp(x[j0,i0])
# Loop to plot the distribution of gBM tradjectories at different times
for i1 in range(n):
# Compute histogram at every tsample , sample at time t
t=(i1+1)*dt
if t in tcheck:
# Plot histogram on sample
plt.hist(z[:,i1],bins=30,density=False,alpha=0.6,label=['t ={}'.format(t)] )
# Superimpose each samples mean
xbar = np.average(z[:,i1])
plt.axvline(xbar, color='RED', linestyle='dashed', linewidth=2)
# Plot theoretic distribution { N(0, sqrt[t] ) }
#plt.plot(xrange,norm.pdf(xrange,0.0,np.sqrt(t)),'k--')
Итак, чтобы подвести итог моего вопроса. Я пытаюсь смоделировать несколько траекторий gBM, сохранить результаты в массиве, затем l oop поверх этого массива и построить гистограмму по заданным c точкам, используя matplotlib, а затем наложить логнормальное распределение на мои гистограммы.