Вы можете l oop поверх ввода, пока не пустая строка, затем добавить в список и суммировать сумму для вычисления среднего.
Для сортировки списка с помощью Comparater.com сравнение по длине строки
public static void main(String[] a) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
System.out.print("Write some names. When you are finished write <Avslutt>! :)");
List<String> names = new ArrayList<String>();
int amount = 0;
while (scanner.hasNextLine()) {
String input = scanner.nextLine();
if ("".equals(input)) {
break;
} else {
names.add(input);
amount += input.length();
}
}
double avg = amount / names.size();
Collections.sort(names, Comparator.comparing(n -> n.length()));
System.out.println("Longest name: " + names.get(names.size() - 1));
System.out.println("Average letter used: + avg);
scanner.close();
}